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Geometria Analítica – MAT A01 2021.2
Agosto de 2021 UFBA
Professor Andreas
Primeira lista de exercícios
"Na Europa está circulando um fantasma - o fantasma do comunismo."1
(Karl Marx, filósofo alemão, 1818 - 1883)
1. Sejam A, B, C, D e E, pontos. Prove que:
(a)
# »
AB =
# »
CD =⇒ # »AC = # »BD
(b)
# »
BC =
# »
AE =⇒ # »EC = # »AB
2. Prove, usando as propriedades da soma entre vetores, que, para todos vetores #»u , #»v e #»w no
espaço, as seguintes propriedades são verdadeiras:
(a) #»u + #»v = #»w + #»v =⇒ #»u = #»w,
(b) #»u + #»v = #»w =⇒ #»u = #»w − #»v .
3. Dados representantes de vetores #»u e #»v conforme a figura:
#»u
77
#»v
//
Ache um representante de #»x tal que #»u + #»v + #»x = #»0 .
4. Justifique a seguinte regra. Para calcular #»x = #»u + #»v + #»w tome um representante (A,B) de
#»u , um representante (B,C) de #»v , um representante (C,D) de #»w. Então #»x tem como repre-
sentante (A,D).
5. Ache a soma dos vetores indicados na figura nos casos:
(a) Quadrado:
D
Coo
A
// B
OO
(b) Cubo:
H
G
��
F//
??
D
E OO
A B
C
(c) Quadrado:
D
//
C
A
// B
__
(d) Cubo:
��
H
G
F//
??
D
E
A B
C
TT
1Original: Ein Gespenst geht um in Europa - das Gespenst des Kommunismus, em Manifest der Kommunistischen
Partei, 1872, Karl Marx e Friedrich Engels.
1
6. Prove que, para todos vetores #»u e #»v no espaço e para todo escalar k,m ∈ R, as seguintes
propriedades são verdadeiras:
(a) −( #»u + #»v ) = − #»u − #»v ,
(b) k( #»u − #»v ) = k #»u − k #»v ,
(c) (k −m) #»u = k #»u −m #»u ,
(d) k #»v = #»0 =⇒ k = 0 ou #»v = #»0 ,
(e) k #»u = k #»v e k 6= 0 =⇒ #»u = #»v ,
(f) (−1) #»v = − #»v ,
(g) 2 #»v = #»v + #»v ,
7. Resolva a equação na incognita #»x :
2 #»x − 3 #»u = 10( #»x + #»v )
8. Sejam A e B pontos, e #»u e #»v vetores. Prove que, se A+ #»u = B + #»v , então #»u =
# »
AB + #»v .
9. Determine
# »
AB em função de #»u , sabendo que A+ (− #»u ) = B + #»u .
10. Determine a relação entre #»u e #»v , sabendo que, para um dado ponto A, (A+ #»u ) + #»v = A.
11. Dados os pontos A, B e C, determine X, sabendo que (A+
# »
AB) +
# »
CX = C +
# »
CB.
12. Prove que, se B = A+
# »
DC, então B = C +
# »
DA.
13. Prove que
# »
BC − # »BA = # »AC.
14. Prove que, se
# »
AB +
# »
AC =
# »
BC, então A = B.
15. Seja ABCDEFGH o cubo:
H
G
F
D
E
A B
C
Determine:
(a) A+
# »
AB +
# »
AD +
# »
AE
(b)
# »
CD − # »DH − # »GH + # »AH + # »AB
(c)
# »
AB +
# »
DC +
# »
AE +
# »
FG+
# »
EH +
# »
BF
(d)
# »
DF − # »EG+ # »FC + # »BE + # »AG− # »BH
16. (a) Seja ABC um triângulo e
# »
AX = λ
# »
XB. Exprima
# »
CX em função de
# »
CA,
# »
CB e λ.
(b) Seja ABC um triângulo e
# »
AX = λ
# »
XB,
# »
BY = µ
# »
Y C e
# »
CZ = ρ
# »
ZA. Exprima
# »
CX,
# »
AY e
# »
BZ em função de
# »
CA,
# »
CB.
2
17. Sejam M , N e P os pontos médios respetivamente dos lados AB, BC e AC de um triângulo
ABC. Mostre que
# »
AN +
# »
BP +
# »
CM =
#»
0
18. Seja OABC um tetraedro e X o ponto da reta BC definido por
# »
BX = m
# »
BC por um m ∈ R.
Exprima
# »
OX e
# »
AX em função de
# »
OA,
# »
OB e
# »
OC.
19. Seja ABC um triângulo, X um ponto na reta AB tal que
# »
AX = 2
# »
XB e Y um ponto na reta
BC tal que
# »
BY = 3
# »
Y C. Prove que as retas CX e AY se cortam num ponto.
20. Sejam A, B, C e D pontos quaisquer no espaço, M o ponto médio de AC e N o de BD.
Exprima #»x =
# »
AB +
# »
AD +
# »
CB +
# »
CD em função de
# »
MN .
21. Seja ABCD um quadrilátero e O um ponto qualquer no espaço. Seja P o ponto médio do
segmento que une os pontos médios das diagonais AC e BD. Prove que
P = O +
1
4
(
# »
OA+
# »
OB +
# »
OC +
# »
OD
)
22. Sejam A, B e C e D três pontos quaisquer com A 6= B. Prove que:
X é um ponto do segmento AB ⇐⇒ # »CX = # »aCA+ # »bCB
com a ≥ 0, b ≥ 0, e a+ b = 1.
23. Prove que, o conjunto { #»v } é LD, se e somente se a equação x #»v = #»0 admite solução não trivial.
24. Prove que, se o conjunto { #»u , #»v , #»w} é LI, então os conjuntos { #»u + #»v + #»w, #»u − #»v , 3 #»v } e
{ #»u + #»v , #»u + #»w, #»v + #»w} também são LI.
25. Seja { #»u , #»v , #»w} um conjunto LI. Dado um vetor #»t qualquer, sabemos que existem escalares
a, b, c ∈ R tais que #»t = a #»u + b #»v + c #»w. Prove que:
{ #»u + #»t , #»v + #»t , #»w + #»t } é LD ⇐⇒ a+ b+ c+ 1 = 0
26. Prove que, se o conjunto { #»u + #»v , #»u − #»v } é LI, então o conjunto { #»u , #»v } é LI.
3