Resposta de Estado Nulo (Convolução).

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Exemplo: Resposta de Estado Nulo (Convolução). 
A equação diferença abaixo representa um sistema discreto no tempo. 
y [n+2 ]−0,6 y [n+1]−0,16 y [n ]=5 x [n+2]
Calcule a expressão da resposta de estado nulo.
Condições iniciais: y [−1]=0; y [−2]=25/4 
Sinal de entrada: x [n ]=(4 )−nu [n ]=(0,25 )nu [n ] 
Solução:
Para calcular a resposta de estado nulo deve-se calcular inicialmente a resposta ao
impulso e neste exemplo os cálculos necessários para obter esta expressão foram
realizados anteriormente (SLDIT_3.PDF) e a equação obtida é dada por:
Cálculo de yzs[n]: resposta de estado nulo é a convolução entre o sinal de entrada x[n]
e a resposta ao impulso h[n]: 
yZS [n ]=x [n]∗h [n ]
Substituindo x[n] e h[n]:
yZS[n]=0,25
nu [n] ∗ [(−0,2 )n + 4 (0,8 )n ] u [n ]
Aplicando a propriedade distributiva:
yZS[n]=(0,25)
n u [n] ∗ (−0,2)n u[n] + (0,25)n u[n] ∗ 4 (0,8)n u[n]
Mudando a posição das constantes:
yZS[n]=(0,25)
n u [n] ∗ (−0,2)n u[n] + 4 (0,25)n u[n] ∗ (0,8)n u[n]
Os dois termos correspondem a convolução de duas exponenciais com bases diferentes e a 
linha 4 da Tabela de Somatório de Convolução descreve o resultado: 
γ 1
nu[n]∗γ 2
nu [n] =
γ 1
n+1−γ 2
n+1
γ 1−γ 2 u[n]
h [n ]=[(−0,2)n + 4 (0,8)n ] u [n ]
Substituindo:
yZS[n]=[(0,25)n+1−(−0,2)n+10,25−(−0,2) ]u [n] + 4[(0,25)
n+1−(0,8)n+1
0,25−(0,8) ]u[n ]
Simplificando:
yZS[n]=( 2,22 [(0,25)n+1−(−0,2)n+1 ] − 7,27 [(0,25)n+1−(0,8)n+1] )u[n]
Fazendo a distributiva e somando os termos de mesma base:
yZS[n]=( −5,05(0,25)n+1 − 2,22(−0,2)n+1 + 7,27(0,8)n+1 )u [n ]
Simplificando as exponenciais em n+1:
yZS [n]=( −1,26(0,25)n − 0,444(−0,2)n + 5,81(0,8)n )u [n ]
Substituindo (0,25)
n
 por (4)
-n
:
yZS [n]=( −1,26(4)−n − 0,444 (−0,2)n + 5,81(0,8)n )u[n ]