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ET - 101 – Estat́ıstica 1
Exerćıcios Propostos
Questão 1.
(Magalhães e Lima) Defina o espaço amostral associado a cada um dos seguintes experimentos
aleatórios:
(a) lançam-se dois dados e anota-se a configuração obtida;
(b) conta-se o numero de peças defeituosas num intervalo de uma hora em uma linha de
produção;
(c) Investiga-se famı́lias com quatro crianças e anota-se a configuração obtida segundo o sexo;
(d) Numa entrevista telefônica com 5 assinantes, pergunta-se se o proprietário tem maquina
de lavar roupas.
(e) De um fichário de com seis nomes, sendo três de mulheres e três de homens, seleciona-se
ficha após ficha até que o nome selecionado seja de mulher.
Questão 2.
(Meyer 1.7)
(a) Uma caixa com N lâmpadas contém R(R < N) com filamento partido. Essas lâmpadas
são verificadas uma a uma, até que uma lâmpadas defeituosa seja encontrada. Descreva
o espaço amostral para este experimento.
(b) Suponha que as lâmpadas sejam verificadas uma a uma, até que todas as defeituosas
tenham sido encontradas. Descreva o espaço amostral para este experimento.
Questão 3.
(Sheldon Ross) Um sistema é formado por 5 componentes; cada um deles ou está funcionando
ou esta estragado. Considere um experimento que consiste em observar a condição de cada
componente e represente o resultado do experimento como o vetor (x1, x2, x3, x4, x5), onde xi é
igual a 1 se o componente i estiver funcionando e a 0 se i estiver estragado.
a) Existem quantos resultados no espaço amostral desse experimento?
b) Suponha que o sistema irá funcionar se os componentes 1 e 2 estiverem funcionando, ou
se os componentes 3 e 4 estiverem funcionando, ou se os componentes 1,3 e 5 estiverem
funcionando. Seja W o evento em que o sistema irá funcionar. Especifique todos os
resultados em W.
c) Seja A o evento em que os componentes 4 e 5 estão estragados. Quantos resultados estão
contidos no evento A?
d) Escreva todos os resultados no evento A ∩W e A ∪W .
Questão 4.
Se P (X ∈ A) = 0, 30, P (X ∈ B) = 0, 25, P (X ∈ C) = 0, 60, P (X ∈ A ∪ B) = 0, 55 e
P (X ∈ B ∪ C) = 0, 70, determine as seguintes probabilidades.
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Exerćıcios Propostos
(a) P (X ∈ A)
(b) P (X ∈ B)
(c) Os conjuntos A e B são mutuamente excludentes?
(d) Os conjuntos B e C são mutuamente excludentes?
Questão 5.
Um circuito é selecionado de uma sequência de produção de 1000 circuitos. Os defeitos de
fabricação são classificados em três categorias, identificadas como A,B e C. Os defeitos tipo A
ocorrem 2% das vezes, defeitos tipo B ocorrem 1% das vezes e defeitos do tipo C ocorrem 1,5%
das vezes. Além disso, sabe-se que 0,5% têm os defeitos A e B, 0,6% têm os defeitos A e C e
0,4% têm os defeitos B e C, enquanto 0,2% apresentam os três defeitos. Qual é a probabilidade
de um circuito selecionado apresentar pelo menos um dos três defeitos?
Questão 6.
Uma instalação de produção emprega 20 operários no turno diurno, 15 operários no noturno
e 10 operários no da madrugada. Um consultor de controle de qualidade deve selecionar 6
desses operários para entrevistas detalhadas. Suponha que a seleção seja feita de tal forma que
qualquer grupo espećıfico de 6 operários tenha a mesma possibilidade de ser selecionado que
qualquer outro grupo (escolha de 6 nomes sem reposição entre 45).
(a) Quantas escolhas contêm 6 operários do turno diurno? Qual é a probabilidade de os 6
operários selecionados serem do turno diurno?
(b) Qual é a probabilidade de os 6 operários selecionados serem do mesmo turno?
(c) Qual é a probabilidade de pelo menos dois turnos diferentes terem representantes entre
os operários selecionados?
(d) Qual é a probabilidade de pelo menos um dos turnos não ter representante na amostra
de operários?
Questão 7.
Uma caixa em um depósito contém quatro lâmpadas de 40W , cinco de 60W e seis de 75W.
Suponha que três lâmpadas sejam selecionadas aleatoriamente.
(a) Qual a probabilidade de que exatamente duas das lâmpadas selecionadas sejam de 75W?
(b) Qual a probabilidade de que as três lâmpadas selecionadas tenham a mesma potência?
(c) Qual a probabilidade de que uma lâmpada de cada tipo seja selecionada?
(d) Suponha que as lâmpadas sejam selecionadas uma a uma até que seja encontrada uma de
75W. Qual a probabilidade de que seja necessário examinar pelo menos seis lâmpadas?
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Exerćıcios Propostos
Questão 8.
(Casella e Berger) Aproximadamente um terço de todos os gêmeos humanos são idênticos
(univitelinos) e dois terços são fraternos (bivitelinos). Gêmeos idênticos são necessariamente
do mesmo sexo, com homens e mulheres sendo igualmente prováveis. Entre os gêmeos fraternos,
aproximadamente um quarto são, ambas, mulheres, e um quarto são, ambos, homens, e metade
e caracterizada por um homem e uma mulher. Por fim, entre todos os nascimentos ocorridos
nos Estados Unidos, aproximadamente 1 em 90 é um nascimento de gêmeos. Defina os seguintes
eventos:
A = {um nascimento nos EUA resulta em meninas gêmeas}
B = {um nascimento nos EUA resulta em gêmeos}
C = {um nascimento nos EUA resuta em gêmeos idênticos}
(a) Defina, em palavras, o evento A ∩B ∩ C
(b) Encontre P (A ∩B ∩ C).
Questão 9.
(Hines et. al) Oito homens e mulheres igualmente capacitados estão se candidatando a duas
vagas num emprego novo. Como os dois novos empregados terão que trabalhar em conjunto,
suas personalidades devem ser compat́ıveis. Para garantir isso, o gerente de pessoal administrou
um teste e deve comparar os escores para cada possibilidade.
Quantas comparações deverão ser feitas pelo gerente?
Questão 10.
(Meyer) Dentre 6 números positivos e 8 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números (sem
reposição) e multiplicam-se esses números. Qual será a probabilidade de que o produto seja
um número positivo?
Questão 11.
(Devore) Um pesquisador está estudando os efeitos da temperatura, da pressão e do tipo de
catalisador no resultado de certa reação qúımica. Três temperaturas diferentes, quatro pressões
diferentes e cinco catalisadores diferentes são considerados.
(a) Se cada teste envolver a utilização de uma única temperatura, pressão e catalisador,
quantos testes serão posśıveis?
(b) Quantos testes envolvem o uso da menor temperatura e de duas menores pressões?
(c) Suponha que cinco testes diferentes sejam feitos no primeiro dia de experiência. Se os
cinco forem selecionados aleatoriamente dentre todas as possibilidades, de forma que
qualquer grupo de cinco tenha a mesma probabilidade de escolha, qual a probabilidade
de que um catalisador diferente seja usado em cada teste?
Questão 12.
(Sheldon Ross) Um grupo de 6 homens e 6 mulheres é dividido aleatoriamente em 2 grupos de
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Exerćıcios Propostos
6 pessoas cada. Qual é a probabilidade de que ambos os grupos possuam o mesmo número de
homens?
Questão 13.
(Sheldon Ross) Dadas 20 pessoas, qual é a probabilidade de que, entre os 12 meses do ano,
existam 4 meses contendo exatamente 2 aniversários e 4 contendo exatamente 3 aniversários?
Questão 14.
(Sheldon Ross) Um instrutor propõe para a classe um conjunto de 10 problemas com a in-
formação de que o exame final será formado por uma seleção aleatória de 5 deles. Se um
estudante tiver descoberto como resolver 7 dos problemas, qual é a probabilidade de que ele ou
ela venha a responder corretamente:
(a) todos os 5 problemas?
(b) pelo menos 4 dos problemas?
Referências:
• Casella, G. e Berger, R. L. Inferência estat́ıstica. Cengage Learning, 2010.
• DEVORE, J. L. Probabilidade e Estat́ıstica para Engenharia e Ciências. Ed. Thomson,
2006.
• HINES, W. & MONTGOMERY, D. C. Probability and Statistics in Engineering and
Management Science. Ed. Wiley, 1990.
• MAGALHÃES, Marcos Nascimento,; LIMA, Antônio Carlos Pedroso de. Noções de prob-
abilidade e estat́ıstica. 7. ed. atual. São Paulo: EDUSP,. 2010.
• MEYER, Paul, Probabilidade Aplicaçõesà Estat́ıstica, 2a Ed., Livros Técnicos e Cient́ıficos,
Rio de Janeiro (1983).
• ROSS, Sheldon. Probabilidade: um curso moderno com aplicações I. Sheldon Ross; tradu-
tor: Alberto Resende De Conti. - 8. ed.
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