Exercícios Resolvidos - Integrais duplas em coordenadas polares

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
CAPÍTULO 15.4 - INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES 
 
03. Considere a região 𝑅 a seguir: 
 
Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝑨
𝑹
 
como uma integral iterada, onde 𝑓 é uma função qualquer contínua em 𝑅. 
 
Usando as coordenadas retangulares, temos que a região 𝑅 pode ser descrita por: 
 
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|−1 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤
1
2 𝑥 +
1
2
} 
Portanto, 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
(𝑥+1)
2
0
𝑑𝑦 𝑑𝑥
1
−1
 
 
11. Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. 
 
∬ 𝑒−𝑥
2−𝑦2𝑑𝐴
𝐷
 
Onde 𝐷 é a região delimitada pelo semicírculo 𝑥 = √4 − 𝑦² e o eixo 𝑦. 
 
Temos que: 
 
∬ 𝑒−𝑥
2−𝑦2𝑑𝐴
𝐷
= ∫ ∫ (𝑒−𝑥
2−𝑦2)
2
0
𝜋
2
−𝜋
2
𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = (∫ 𝑑𝜃
𝜋
2
−𝜋
2
) ∙ (∫ 𝑟𝑒−𝑟
2
2
0
𝑑𝑟) 
= [𝜃]
𝜋
2
−𝜋
2
∙ [−
1
2
𝑒−𝑟
2
]
2
0
= 𝜋 ∙ (−
1
2
) ∙ (𝑒−4 − 𝑒0) =
𝜋
2
(1 − 𝑒−4) 
 
 
STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010