GRA1559 - ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL - A2

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Pergunta 1
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Suponha que você esteja analisando duas aplicações financeiras. Sua aplicação
inicial foi de R$ 20000,00 por um ano em duas aplicações: A e B. A aplicação A
rendeu 10% ao ano e a B rendeu 25% ao ano. Sabe-se que o ganho proporcionado
pela aplicação B foi superior ao de A em R$ 100,00. Com base nessas
informações, assinale a alternativa que apresenta em R$ a diferença dos valores
aplicados em cada investimento.
8000.
8000.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois você, primeiramente, deve escrever
o sistema linear. Lembre-se de que x seria a aplicação A e B equivale à aplicação y: 
 
 
 
 
Ao resolver o sistema linear, tem-se: e 
Pergunta 2
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário da
resposta:
As matrizes obedecem a certas propriedades de álgebra. Por exemplo, o produto
entre as duas matrizes, geralmente, não é comutativo, . A única exceção
seria quando isto é, quando a matriz B for a inversa de A. Usando o
conceito de propriedade de matriz inversa, assinale a alternativa correta referente à
matriz 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois você precisa calcular da
seguinte forma: 
 
 
Nesse caso, chegamos aos seguintes sistemas: 
 
 
 O outro sistema que encontramos foi: 
 
 
 Resolvendo esse par de sistemas, temos: 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Pergunta 3
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
Um sistema linear pode ter ou não solução, sendo denominado sistema possível ou
impossível, respectivamente. Dentre os sistemas que admitem solução, existem os
que têm apenas uma única solução (determinado) e outros que podem apresentar
um conjunto infinito de soluções (indeterminado).
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e relação proposta entre elas.
 
 
I. O sistema linear 
 
 
 possui várias soluções. 
Porque:
II. O determinante formado por é diferente de zero.
 
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição
verdadeira.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando calculamos, o determinante
dos elementos será igual a -59. Pela classificação dos sistemas lineares, o
sistema linear terá apenas uma solução. Assim, se o determinante fosse igual a zero,
teríamos infinitas soluções.
Pergunta 4
Resposta Selecionada: 
As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e m colunas. Podemos
obter as matrizes a partir de leis de formação. Considere, por exemplo, uma matriz
 , de ordem , em que os elementos têm a seguinte lei de formação:
 
 
 
 Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir:
 
 I. Na matriz A, o elemento é igual ao elemento 
 
II. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos.
 III. Se a matriz B é , então o produto B. A é a matriz -B.
 IV. Sendo a matriz I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os
elementos iguais a 1.
 
 Está coorreto o que afirma em :
I, II e IV, apenas.
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
I, II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a matriz terá a seguinte forma: 
 
 
 
Assim, percebemos que o elemento Também pode ser verificado que a
matriz tem a diagonal principal igual a zero. Se multiplicarmos essa matriz por B,
teremos: 
 
 
= 
 
 Ou seja, a matriz não será -B. Por fim, se somarmos A+I, teremos 
 
 
.
Pergunta 5
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Comentário da
resposta:
Na modelagem de muitos sistemas físicos, encontramos sistemas lineares, tendo a
quantidade de incógnitas similar à quantidade de equações. Nessa situação,
sempre podemos montar uma matriz e calcular o determinante para verificarmos a
solução de sistema lineares. Assim, nessa circunstância, considere que A seja uma
matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tal que
det(A).det(B)=1. Assinale a alternativa que apresenta o valor de det(3A).det(2B).
72.
72.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois é preciso usar a seguinte
propriedade de determinante: 
 
 Em que n é a ordem da matriz. No nosso problema: 
Pergunta 6
Considere as seguintes informações: 1) o sistema de equações não se altera
quando permutamos as posições das equações; 2) o sistema de equações não se
altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer
número real não nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma equação
por outra obtida a partir da inclusão “membro a membro” dessa equação, na qual foi
aplicada a transformação do Teorema II. Essas informações são concernentes aos
três axiomas de Eliminação de Gauss. Assim, usando o conceito de eliminação
gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte
matriz:
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário da
resposta:
 
 
Resposta correta. A alternativa está incorreta, pois, nesse caso, você deveria
utilizar os seguintes passos para resolver o problema: 
 
 
 
Primeiramente, na linha 2, faremos: -2L1+L2 e -3L1+L2 
 
 
 
Após isso, na linha 3, faremos: -2L2+L3 
 
 
 
Depois, podemos trocar as linhas 2 e 3: 
 
 
 
Por fim, na linha 3, faremos: -3L2+L3 
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
A regra de Cramer é um dos métodos para obter soluções de sistemas lineares. A
aplicação da regra de Cramer, contudo, poderá ser utilizada apenas para sistemas
que apresentam número de equações iguais ao número de incógnitas. Lembre-se
de que, nessa regra, usamos o conceito de determinante. 
Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta a solução
(x,y,z) do seguinte sistema linear:
 
 
 
(1, 3, 2).
(1, 3, 2).
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando calculamos, identificamos o
1 em 1 pontos
determinante principal formado por . A partir disso,
encontramos que , e Com esses resultados,
fazemos as divisões Encontramos, assim, (1, 3,
2).
Pergunta 8
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário da
resposta:
As matrizes quadradas têm sua importância, pois, por meio do cálculo do seu
determinante, podemos associar o seu valor a um escalar. Por exemplo, ele tem a
sua importância no uso de sistemas lineares. Uma das técnicas usadas em matriz 
 seria a multiplicação pelas diagonais. Diante do exposto, assinale a alternativa
que apresenta, respectivamente, o valor de , tal que .
-4 e 1.
-4 e 1.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, colocando os valores de -4 e
1 na matriz, encontraremos: 
 
 
 
Pergunta 9
Os sistemas de equações lineares estão presentes nas mais diversas áreas, como
na modelagem de sistemas elétricos, no dimensionamento de sistemas que estão
em equilíbrio estático, na economia etc. Além disso, quando modelamos
matematicamente, temos de procurar uma solução para o sistema de equações
lineares. 
 
Considerando o exposto, sobre sistemas de equações lineares, analise as
afirmativas a seguir:
 
I. O modelo de resolução de Cramer pode ser aplicado quando o número de
equações é maior que o número de incógnitas.
II. Se o determinante incompleto de um conjunto de equações lineares for o
sistema apresentará uma única solução.
 III. O sistema 
 
 
 é um sistema possível determinado.
 
 IV. O sistema 
 
 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
 
 é um sistema impossível.
 
Está correto o que se afirma em:
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando o determinante for diferente
de zero, teremos que o sistema possui uma única solução. Já o sistema 
 
 
 é um sistema impossível, pois, isolando y na primeira equação, teremos: 
→ substituindo na segunda equação, iremos encontrar →
 → → , o queseria um erro.
Pergunta 10
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Os três axiomas de Eliminação de Gauss são: 1) o sistema de equações não se
altera quando permutamos as posições das equações; 2) o sistema de equações
não se altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por
qualquer número real não nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma
equação por outra obtida a partir da inclusão “membro a membro” dessa equação,
na qual foi aplicada a transformação do Teorema II. Usando o conceito de
Eliminação Gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da
seguinte matriz:
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, devemos fazer: 
 
 
 
Em um primeiro momento, substituímos a linha 2 pela linha 2 menos 2 vezes a linha 1.
Também pegamos a linha 3 e somamos duas vezes a linha 1. Assim, teremos: 
 
 
 
 
Agora, pegamos a linha 3 e somamos com da linha 1: 
 
1 em 1 pontos
 
.