matrizes 4

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ANDRÉA LUCIANE DE PAULA LACERDA 
ÁLGEBRA LINEAR 
Operações Elementares sobre as linhas de uma matriz 
São três as operações sobre as linhas de uma matriz: 
(i) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo t.  L tLi i
 











 22 L4L
01
2
1
1
01










01
.........
01
4 -2 
(ii) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas. 
 




  21 LL
213
201






 201
213
 L Li j
(iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais t vezes a 
j-ésima linha, onde t é não nulo.  L L tLi i j 
 












 133 L5LL
72
05
30
71












72
.......................
30
71
5-5.1 0-5.7 














72
350
30
71
Sejam A e B matrizes de mesma ordem. Diz-se que B é linha 
equivalente a A, se B pode ser obtida de A através de um número 
finito de operações elementares sobre as linhas de A. 
Exemplo 1: 
 






 11 L)4/1(L
213
804
A 





213
201
B
410
201







 
 122 L3LL
 
 122 L3LL 
 11 L4L
Notação: BA 
Assim, se a matriz B é linha equivalente a matriz A, você 
pode concluir que A é linha equivalente a B. 






213
201
B
410
201







LINHA REDUZIDA À FORMA ESCADA (LRFE) 
Diz-se que uma matriz A m x n é linha reduzida à forma escada (LRFE) 
se satisfaz as condições a seguir: 
(i) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. 
(iv) Se as linhas 1, ... , r são as linhas não nulas, e 
se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre 
na coluna ki , então k1 < k2 < ... < kr 
(ii) Cada coluna que contém o primeiro 
elemento não nulo de alguma linha 
possui todos os seus outros elementos 
iguais a zero. 
(iii) Toda linha nula ocorre abaixo de 
todas as linhas não nulas. 
Ex: Verifique se as matrizes dadas a seguir estão na forma LRFE. 







00
01
A A matriz A está na forma LRFE. 







020
001
B
A matriz B não está na forma LRFE porque o 
primeiro elemento não nulo da linha 2 é 
diferente de um. 







10
00
C
A matriz C não está na forma LRFE porque possui uma 
linha nula acima de uma linha não nula. 











0
0
1
D
A matriz D está na forma LRFE. 











000
100
011
E













0000
0010
0100
2001
F







10
11
G
A matriz E está na forma LRFE. 
A matriz F não está na forma LRFE porque 
k1 k2 
321 kkk 
k3 = 1 = 3 = 2 
Assim, não satisfaz a condição: 
A matriz G não está na forma LRFE porque coluna que 
contém o primeiro elemento não nulo da segunda linha 
possui um elemento diferente de zero. 
 
Exemplo 1 
Este processo de obtenção da matriz B LRFE que é linha equivalente a 
matriz A é chamado de escalonamento de GAUSS-JORDAN. 
Exemplo 2 : 
1. O 1º elemento não nulo de Li é igual a 1? 
2. Todos os outros elementos da coluna onde ocorre o 1º não nulo 
de Li são iguais a zero? 
3. A matriz obtida satisfaz a condição ? ...21 rkkk 
4. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas? 
Escalone a matriz A. 











40
03
11
A
A matriz B é linha equivalente a matriz A e está na forma LRFE. 
Esse processo é sempre possível qualquer que seja a matriz A . 









 

010
500
042
A1
Definições: 
 Seja B a matriz LRFE linha equivalente a matriz A. 
Chamamos posto de A, denotado por p(A), o número de linhas 
não nulas da matriz B. 
O número n(A) obtido quando subtraímos o posto de A do 
número de colunas de A é chamado de nulidade de A. 
)(colunas de n)( o ApostoAnulidade 
Exemplo: 
p(A) = 3 
n(A) = 3-3 = 0 
1. O 1º elemento não nulo de Li é igual a 1? 
2. Todos os outros elementos da coluna onde ocorre o 1º não 
nulo de Li são iguais a zero? 
Se não for : Operação elementar do tipo L1 t L1 
Se não for : Operações elementares do tipo Li Lj+ t L1 
Sintetizando: 
Para escalonar uma matriz você pode seguir o roteiro 
definido pelas perguntas dadas abaixo. 
3. A matriz obtida satisfaz a condição ?...21 rkkk 
4. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas? 
Se não for : Operações elementares do tipo 
Se não for : Operações elementares do tipo 
 Li Lj 
Li Lj 
Exercícios 
1)Escalone as matrizes abaixo para a forma LRFE 
a) 
b) 
c) 
Exercícios 
a) 
b) 
Exercícios 
c) 
 Bibliografia: 
https://sites.google.com/site/algebrasoresofe/