integrais

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Lárcio Tomás Chibielo
Integrais (formula de barrow) 
Ciências de Administração e Gestão
Cambine, Agosto 2021
Lárcio Tomás Chibielo
Integrais (formula de barrow)
 
 (
Trabalho a ser submetido na cadeira de Matemática, para efeitos de apresentação e avaliação.
Félix 
Rovissene
 M. Moçambique
)
Cambine, Agosto 2021
 (
1
)
Índice
Introdução	2
Objetivos	3
Objetivo geral	3
Objetivos específicos	3
Exemplo:	5
Integral definida (regra de barrow)	6
Definição e interpretação	6
Definição	7
Propriedades dos integrais- integral definido/ indefinido	10
Teorema fundamental do cálculo (regra de Barrow)	12
Exemplo (por partes)	12
Exemplo por substituição	13
Anexos	15
Identidades trigonométricas	15
Tabela dos integrais	15
Conclusão	16
Referências bibliográficas	17
Introdução 
A derivada é um dos conceitos mais importantes do cálculo. Outro conceito também muito relevante é o do integral. Existe uma estreita relação entre essas duas ideias. A operação inversa da derivação é a anti derivação ou integração indefinida.
Newton e Leibniz, bem como os seus seguidores, se envolveram em uma polémica sobre a originalidade da descoberta do cálculo, acarretando grande desgaste pessoal a cada um deles. As abordagens deles sobre o tema foram diferentes.
Newton apresenta seu método das fluxões como uma ferramenta que lhe permite aprofundar seus conhecimentos dos fenómenos físicos. Isto é, uma visão cinemática do cálculo: a derivada vista como uma taxa de variação. Ele considerava X e Y variando em função de tempo. Leibniz, por sua vez, considerava X e Y variando sobre uma sequência de valores infinitamente próximos. Ele introduziu dx e dy como sendo as diferenças entre os valores nesta sequência.
Apesar de Newton ter desenvolvida sua teoria primeiro, coube a Leibniz o mérito de ter publicado a sua versão, em 1684, introduzindo o termo calculus summatorius, e divulgando assim suas ideias. Leibniz dava muita importância à notação, no que estava absolutamente certo. Leibniz foi quem introduziu os símbolos matemáticos d e f, estabelecendo, por volta d 1675, a notação exatamente como fazemos atualmente.
Objetivos 
Objetivo geral
· Propiciar o estudante fundamentos sobre o cálculo integral definido e indefinido e suas aplicações.
Objetivos específicos
· Revisar e aprofundar os conceitos de integrais
· Ensinar o cálculo de integrais simples
· Ensinar aplicações de integrais simples
· Conhecer e aplicar a fórmula de barrow 
 
Integral indefinida 
O estudo das integrais indefinidas é o primeiro passo na compreensão de uma importante ferramenta matemática: a integral. Será introduzida a ideia de integral, mostrando sua relação com a derivada.
Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x)+C é chamada integral indefinida da função f(x) e é o denotada por
Em que
 é chamado sinal de integração
 é a função integrando.
é a diferencial que serve para identificar a variável de integração.
 é a constante de integração.
Observações:
· Lê-se: integral indefinida de f(x) em relação a x ou integral de f(x) em relação a x.
· O processo que permite calcular integral indefinida de uma função é denominado integração.
Da definição de integral indefinida temos que
I. 
II. 
III. 
Exemplos:
1) Se 
2) Se 
3) Se 
4) Se 
5) Se 
Pelos exemplos acima, temos:
Isso nos permite obter as fórmulas de integração diretamente das fórmulas de diferenciação.
Propriedades da integral indefinida
Sejam f(x) e g(x) funções reais definidas no mesmo domínio e k uma constante real. Então
a) 
b) 
Exemplo:
Calcular:
 
Onde C1 e C2− são constantes arbitrários. Com a soma (C1+C2) é uma nova constante arbitraria, podemos escrever C1 + C2 =C dai 
 
Logo:
NB: Sempre que aparecer uma soma de duas ou mais integrais indefinidas, escrever apenas uma constante para indicar a soma de vários constantes da integração.
Integral definida (regra de barrow)
Definição e interpretação 
Seja f uma função real definida e continua no intervalo limitado e fechado [a,b], a <b. o integral numa só variável (x)
(frequentemente designado por integral) é definido como o limite de somas de Riemann 
Que podem ser construídas como a seguir se expõe.
Consideramos a divisão de do intervalo [a,b] em n subintervalos de igual amplitude e designa-se essa amplitude por 
 Constroem-se 2 somas de Riemann (especiais) ao considerar:
Soma pela esquerda
Soma pela direita 
Em cada uma destas somas cada parcela (ou cada termo do somatório) é relativa a um dos n subintervalos: é o intervalo da amplitude de cada subintervalo pelo valor da função f calculada num certo valor xi nesse subintervalo (atenda às figuras 1 e 2)
Independentemente da forma como se construiu cada uma das somas de Riemann referidas acima, sempre se selecionou um valor xi em cada subintervalo e sempre se considerou a sua imagem f(xi) permitindo obter, então, uma soma
Definição 
Seja f uma função real de variável real definida e continua no intervalo [a,b], a <b. Define-se o integral definido à Riemann da função da f de a até b como sendo o limite, na variável n, das somas de Riemann quando se consideram n subdivisões do intervalo [a,b]. Denota-se este integral por
Tem-se então
 
A função f é designada por função integrando e os números reais a e b por extremos ou limites de integração, limite inferior e limite superior, respectivamente. O intervalo [a,b] é designado por intervalo de integração. Considera-se, ainda, que 
Exemplo: para o calculo de Dividimos o intervalo [0,6] em n subintervalos de amplitude Selecionamos os valores xi como sendo os extremos da direita em n.
Definição e interpretação 
Cada subintervalo, isto é, x0 =
Como tal,
Devemos, no entanto, salientar que este procedimento é em geral difícil de efetuar para uma função arbitrária.
Problema1: em que condições está garantida a existência do integral 
Há que garantir a existência do limite considerado quando ou seja, garantir a convergência da serie numérica 
Definiu se o integral Para funções f continuas no intervalo [a,b], intervalo limitado e fechado. O teorema de Weierstrass garante então que f admite neste intervalo um máximo e um mínimo, isto é, f é limitada neste intervalo. Isto garante a convergência da serie acima e a existência da sua soma S que corresponde ao valor do integral
Também está garantida a existência do integral no caso em que f tenha um numero finito de descontinuidade de 1a espécie ( também referidas frequentemente como descontinuidades de salto) no intervalo [a,b]. Sendo o número de descontinuidades finito torna se possível considerar um numero finito de integrais, cada um em intervalos onde a função seja continua. A obtenção do integral é possível pela seguinte propriedade do integrais:
Designada por identidade de Chasles.
Consideremos, de seguida, que . Sendo f uma função positiva no intervalo [a,b], podemos interpretar cada parcela F(xi). De uma soma de Riemann como a area de um retângulo de base e altura F(xi). A soma de Riemann que considere corresponde, então, á soma das áreas de todos os retângulos.
Cada soma de Riemann corresponde, portanto, a uma estimativa de área da região do plano limitada pelo gráfico da função f e pelo x-eixo, entre as rectas x=ane x=b.
Quando é considerado um número cada vez maior de intervalos, ou seja, quando a amplitude tende a ser cada vez menor, os ‘topos’’ dos retângulos tendem a “ajustar-se” cada vez mais a curva do gráfico. Assim, a soma das áreas desses retângulos tende a aproximar-se da área limitada entre a curva do gráfico e o x-eixo desde a até b (uma forma de efetuar essa diminuição de seria dividir cada subintervalo ao meio, depois dividir novamente ao meio cada um destes últimos e assim por diante). Atenda as figuras seguintes.
Observação: uma outra interpretação do integral Pode ser feita quando f representa uma função densidade (digamos uma densidade de população ou a densidade de uma substancia) no intervalo [a,b]. Neste caso, o integral calcula a população total ou a massatotal da substancia.
Observação: o integral Também pode ser interpretado como o trabalho realizado por uma forca f quando o ponto material de aplicação da forca se move em movimento retilinto x=a para x=b.
Propriedades dos integrais- integral definido/ indefinido
Seja f uma função real de variável real definida e continua no intervalo [a,b], a <b. Temos as seguintes propriedades:
Proposição: seja f uma função real definido e continua no intervalo limitado e fechado [a,b], a<b. se
Então 
Observação (integral indefinido): no caso em que 
Ou seja,
No entanto para evitar confundir os “papéis” dos vários x’s deve ser enunciada a seguinte maneira
 
Ou seja,
 
Significando que F(x) é simplesmente uma primitiva de f(x).
Teorema fundamental do cálculo (regra de Barrow)
sejam f uma função real de variável real definida e continua no intervalo [a,b], a< b, e F(x) uma primitiva de f(x). Temos
Observação: este teorema é de grande utilidade pratica no cálculo de integrais, desde que seja possível determinar uma primitiva da função integrando.
As formulas de primitivação por partes e por substituição podem ser facilmente estendidas para o cálculo de integrais de uma função contínua no intervalo limitado e fechado [a,b].
Exemplo (por partes)
Para o cálculo do integral:
Há que salientar que a função Ser uma função contínua no intervalo limitado e fechado E, por isso, o integral estar bem definido. Podemos, então, considerar o integral e efetuar primitivação por partes com
Para primitiva de g’ podemos considerar 
E, para derivada de f, temos aplicando a formula referida acima, obtemos
Exemplo por substituição 
Para o cálculo de integral
Há que salientar a função f(x) ser uma função contínua no intervalo limitado e fechado [2,3]e, por isso, o integral estar bem definido. Podemos considerar a mudança de variável temos ainda para x=3,
Atendemos que, na parte final dos cálculos designamos arcos 1/3 por (-), ou seja, cos(-)=1/3, oque permite considerar num triangulo retângulo de hipotenusa 3 e um angulo (-) cujo cateto adjacente mede 1. Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos 
Anexos
Identidades trigonométricas
Tabela dos integrais
Conclusão 
Chegado o fim do presente trabalho conclui que A operação inversa da derivação é a anti derivação ou integração indefinida.
Newton e Leibniz, bem como os seus seguidores, se envolveram em uma polémica sobre a originalidade da descoberta do cálculo, acarretando grande desgaste pessoal a cada um deles. As abordagens deles sobre o tema foram diferentes.
O estudo das integrais indefinidas é o primeiro passo na compreensão de uma importante ferramenta matemática: a integral. Será introduzida a ideia de integral, mostrando sua relação com a derivada.
Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x)+C é chamada integral indefinida da função f(x) e é o denotada por
E podemos encontrar também integral definida e indefinida, e para melhor compreender as integrais encontre acima em anexo as propriedades e identidades trigonométricas para melhor compreender a resolução das integrais.
Referências bibliográficas 
BOULOS, P. Introdução ao Cálculo. V. 1, 1 ed. 8 reimp. São Paulo: Edgard Blücher, 2005.
[Nº Chamada: 515 B764i]
BOULOS, P. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. [Nº Chamada: 515
B764p]
LEITHOLD, G. O Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2, 3ª ed., São Paulo: Editora
Harbra, 1994. [Nº Chamada: 515.15 L533c]
STEWART, J. Cálculo. V. 1. São Paulo: Cengage Learning, 2010 [Nº Chamada: 515
S849c]
SIMMONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. São Paulo: Pearson Makron
Books 1987. [Nº Chamada: 515.15 S592c]
GONÇALVES, M. B.; FLEMMING D. M., Cálculo A: Funções, limite, derivação e
integração. 6 ed. Rev. e Amp. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. [Nº Chamada: 515
F599c]
ANTON, H; BIVENS, I; DAVIS, S. Cálculo, V.1. 8 ed. Porto Alegre: Editora Bookman,
2005. [Nº Chamada: 515 A634c]
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Lárcio Tomás Chibielo
 
 
Integrais (formula de barrow) 
 
 
Ciências de Administração e Gestão
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cambine, Agosto 2021