Sistemas Lineares (3)

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2º ano
Sistemas Lineares 
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 
Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As três contas apresentam ligações para telefones fixo e móveis, e ligações internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos.
A tabela informa o tempo (em minuto) das ligações que cada um efetuou e o valor correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura.
Fixo
Móvel
Internacional (Buenos Aires)
Valor (R$)
Paula
10 min
6 min
2 min
12,20
Júlia
14 min
4 min
3 min
13,40
André
8 min
5 min
5 min
14,70
SISTEMAS LINEARES
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 
Vamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para telefones fixos, para telefones móveis e para Buenos Aires, respectivamente:
A conta de Paula é dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20
A conta de Júlia é dada por: 14x + 4Y + 3z = 13,40
A conta de André é dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70
As três equações acima constituem um exemplo de sistema linear.
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As equações que obtivemos têm muitas coisas em comum. Vamos analisar por exemplo a equação:
10x + 6y + 2z = 12,20
É uma equação de 1º grau.
Os três termos do 1º membro são de 1º grau.
O termo do segundo membro é de grau zero (independe de qualquer variável).
Uma equação desse tipo é chamada de equação linear.
EQUAÇÃO LINEAR
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EQUAÇÃO LINEAR (NOTAÇÃO)
De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
 x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
 a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;
 b é o termo independente;
Note que, numa equação linear, os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1.
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SISTEMA LINEAR
Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas.
x + 2y = 3
Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y).
x – y = 5
2x – y +z – t = 0
Sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z e t).
x – 2y + t = 0
3x + y – 2z = 0
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OBSERVAÇÃO
Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial.
2x + y = 3
x – 2y = 0
5x + y = 0
2
1
1
–2
5
1
A =
x
Y
X =
3
0
1
B =
Matriz dos coeficientes
Matriz das incógnitas
Matriz dos termos independentes
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No sistema linear
x + y = 5
2x – y = 1
(2, 3) é solução →
2 + 3 = 5 (V)
2.2 – 3 = 1 (V)
(3, 2) não é solução →
3 + 2 = 5 (V)
2.3 – 2 = 1 (F)
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.
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SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos os coeficientes independentes nulos.
Num sistema linear homogêneo, todas as equações são homogêneas (possui todos os coeficientes independentes nulos). 
Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0, 0, 0, ..., 0), chamada de trivial.
Um sistema homogêneo pode ter outras soluções além da trivial.
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EXEMPLO
O sistema linear é homogêneo.
x – 2y = 0
–3x + 6y = 0
(0, 0) é solução →
0 – 2.0 = 0 (V)
–3.0 + 6.0 = 0 (V)
(2, 1) também é solução →
2 – 2.1 = 0 (V)
–3.2 + 6.1 = 0 (V)
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Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas soluções são chamados sistemas equivalentes.
SISTEMAS EQUIVALENTES
2x + y = 5
 x – y = 1
e
 x + y = 3
3x + y = 7
Ambos os sistemas são possíveis e determinados.
A solução é a sequência (2, 1).
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PROPRIEDADES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE SISTEMAS
Trocar de posição, entre si, duas equações do sistema.
Multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma equação do sistema por uma constante não-nula.
Substituir uma equação pela soma, membro a membro, dela com outra equação, podendo ser ambas multiplicadas, antes por uma constante real não-nula.
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CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)
Quantas?
Apenas uma
Determinado (SPD)
Infinitas
Indeterminado (SPI)
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.
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SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS E INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA SOLUÇÃO
Em um plano cartesiano, as equações da forma ax + by = c, em que a e b são simultaneamente não nulos, definem uma reta. A solução de um sistema linear de duas equações a duas variáveis corresponde aos pontos comuns às retas relacionadas a essas equações.
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EXEMPLO 1
 
3x – y = 5
x + y = 7
Na 1ª equação, y = 3x – 5.
Subst. na 2ª equação,
x + 3x – 5 = 7
→ 4x = 12
Um sistema linear pode ter uma única solução. No caso, ele é chamado sistema possível e determinado (SPD).
→ x = 3
→ y = 3.3 – 5
→ y = 4
Solução (3, 4)
y = 3x – 5
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x
y
O
Veja a interpretação gráfica do sistema
3x – y = 5
x + y = 7
r2
3
4
r1
Retas concorrentes
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x – 3y = 4
–2x + 6y = 3
Na 1ª equação, x = 4 + 3y. 
Subst. na 2ª equação,
–2(4 + 3y) + 6y = 3
→ –8 – 6y + 6y = 3
→ 0y = 11
Um sistema linear pode não ter solução. No caso, ele é chamado sistema impossível (SI).
EXEMPLO 2
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Veja a análise geométrica do sistema
x – 3y = 4
–2x + 6y = 3
x
y
O
s
r
Retas paralelas
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x – 2y = –5
–2x + 4y = 10
Na 1ª equação, x = 2y – 5. 
Subst. na 2ª equação,
–2(2y – 5) + 4y = 10
→ –4y + 10 + 4y = 10
Um sistema linear pode ter infinitas soluções. No caso, ele é chamado sistema possível e indeterminado (SPI).
→ 0y = 0
EXEMPLO 3
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Veja a análise gráfica do sistema
x – 2y = –5
–2x + 4y = 10
x
y
O
r1≡ r2
Retas coincidentes
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Possível
Impossível
(Possui solução)
Determinado
(Não possui solução)
Indeterminado
(Uma única solução)
(Infinitas soluções)
y
x
y
x
y
x
RESUMO (EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS)
SISTEMA
Retas paralelas
Retas coincidentes
Retas concorrentes
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Suponhamos o sistema linear
a1x + b1y = c1
a2x +b2y = c2
a1
b1
a2
b2
D =
= a1.b2 – a2.b1
c1
b1
c2
b2
Dx =
= c1.b2 – c2. b1
a1
c1
a2
c2
Dy =
= a1. c2 – a2.c1
 x =
Dx
D
REGRA DE CRAMER
Processo de resolução de sistemas lineares por meio de determinantes. 
y =
Dy
D
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Analogamente, podemos escrever a matriz incompleta de qualquer sistema linear n x m, assim como o seu determinantes D e também os determinantes Di obtidos através da troca dos coeficientes de uma i-ésima incógnita pelos termos independentes no determinante da matriz incompleta.
A regra de Cramer pode ser aplicada para resolver um sistema n x m, onde D  0. a solução é dada pelas razões:
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EXEMPLO
Resolver o sistema linear utilizando a regra de Cramer. 
3x + y = 5
5x – 2y = 12
3
1
5
–2
D =
= 3.(–2) – 1.5
5
1
12
–2
Dx =
= 5.(–2) – 1.12
3
5
5
12
Dy =
= 3.12 – 5.5
= –11
= –22
= 11
→ x =
–22
–11
→ y =
11
–11
= 2
= –1
Dx
D
=
Dy
D
=
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24
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO 
A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n sãomaiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.
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25
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS
Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no sentido de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes dos coeficientes não nulos. Por esse motivo, vamos descrever o sistema em forma de escada, ou seja, por escalonamento.
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero;
Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações;
Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. 
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Um sistema escalonado é impossível (SI) só quando apresenta uma equação impossível.
 x – 2y + z = 3
0x + y – z = 2
0x + 0y + 0z = 3
EXEMPLO 1
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EXEMPLO 2
 x – y + z = 4
0x + y – z = 2
0x + 0y + 3z = 3
Um sistema escalonado é possível e determinado (SPD) quando o número de equações é igual ao número de incógnitas.
3ª equação:
3z = 3
 → z = 1
2ª equação:
y – z = 2
 → y – 1 = 2
 → y = 3
1ª equação:
x – y + z = 4
 → x – 3 + 1 = 4
 → x = 6
Solução (6, 3, 1)
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EXEMPLO 3
 x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
0x + 0y + 0z = 0
A última equação é nula. Por isso, ela deve ser eliminada.
 x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
Um sistema escalonado é possível e indeterminado (SPI) quando o número de equações é menor que o número de incógnitas.
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 x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
Troca de variável:
z = k
2ª equação:
y – 2z = 2
 → y – 2k = 3
 → y = 2k + 3
1ª equação:
x – y + z = 3
 → x – (2k + 3) + k = 3
 → x – 2k – 3 + k = 3
 → x = k + 6
Solução geral:
(k + 6, 2k + 3, k)
k = –1 → (5, 1, –1) 
k = 0 → (5, 1, –1)
k = 1 → (7, 5, 1)...
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ESCALONAMENTO NA FORMA DE MATRIZ
A todo sistema linear podemos associar uma matriz, chamada matriz completa do sistema.
 x – 2y + 3z = 1
2y + z = 7
–x + z = 5
 1x – 2y + 3z = 1
0x + 2y + 1z = 7
–1x + 0y + 1z = 5
1
–2
3
1
0
2
1
7
–1
0
1
5
Matriz completa:
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EXEMPLO
Escalonar, discutir e resolver, se possível, o sistema
2x – y = 5
x + 3y = 1
3x – y = 4
2
–1
5
1
3
1
3
–1
4
Associando o sistema a uma matriz temos:
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7
–70
0
30
–70
0
1
3
1
–23
0
0
30
–70
0
1
3
1
A matriz está escalonada.
A última linha representa a equação 0x + 0y = –23 → SI
2
–1
5
1
3
1
3
–1
4
1
3
1
2
–1
5
3
–1
4
4
–1
3
3
–7
0
1
3
1
1
–10
0
3
–7
0
1
3
1
x(-2)
+
x(-3)
+


x10
x7

X(-1)
+
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QUESTÕES
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1) (UFF-RJ) Um biscoito é composto por açúcar, farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os preços por quilograma do açúcar, da farinha e da manteiga são, respectivamente, R$ 0,50, R$ 0,80 e R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do biscoito, considerando apenas esses ingredientes, é R$ 2,42. Calcule a quantidade, em gramas, de cada ingrediente presente em 1 kg de massa do biscoito.
Açúcar: 200g
Farinha: 400g
Manteiga: 400g
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2) (Fuvest-SP) Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá, encontrara uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
Carlos e o cão pesam, juntos, 87 kg;
Carlos e Andreia pesam 123 kg;
Andreia e Bidu pesam 66 kg.
Podemos afirmar que:
a) Cada um deles pesa menos que 60 kg.
b) Dois deles pesam mais que 60 kg.
c) Andreia é a mais pesada de todas.
d) O peso de Andreia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu.
e) Carlos é o mais pesado que Andreia e Bidu juntos.
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3) (Vunesp-SP) Misturam-se dois tipos de leite, um com3% de gordura e outro com 4% de gordura para obter, ao todo, 80 litros de leite com 3,25% de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados?
60 litros de leite com 3% de gordura
20 litros de leite com 4% de gordura
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4) (Osec – SP) O sistema linear :
a) admite solução única
b) admite infinitas soluções
c) admite apenas duas soluções
d) não admite solução
e) N.D.A.
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EXTRAS
GEOGEBRA 
Utilizar o software geogebra para a representação gráfica de sistemas de equações lineares.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
WINMAT
Utilizar o software winmat para o escalonamento de sistemas.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://math.exeter.edu/rparris/winmat.html.
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REFERÊNCIAS
Sites:
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/sistemas-equacoes-lineares.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/sistemas-lineares.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistemas_lineares
http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Sistemas_lineares
http://www.somatematica.com.br/emedio/sistemas/sistemas.php
Livros:
I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 2 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. 
Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.
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