Prova 3 - EDB UFMG

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Terceira Prova de EDB – 2020/2
ATENÇÃO: UTILIZE APENAS A TABELA DE TRANSFORMADAS PRESENTE
NESSA PROVA. DEDUZA OUTRAS TRANSFORMADAS A PARTIR DAS AQUI
DISPONÍVEIS.
QUESTÃO 1 – Calcule a transformada de Fourier de
f(x) =
{
sen(x), se π < x < 3π
0, se x < π ou x > 3π.
QUESTÃO 2 – Calcule a transformada de Fourier inversa de
f̂(ω) =
e−|ω|sen(ω)√
πω
.
QUESTÃO 3 – Encontre a solução geral do problema, onde f é tal que existe sua
transformada de Fourier:{
ut(x, t)− 2ux(x, t) = 0, t > 0, x ∈ R
u(x, 0) = f(x)
f(x) f̂(ω)
1
{
1 , |x| < a
0 , |x| > a (a > 0)
√
2
π
sen (aω)
ω
2 1
a2+x2
, a > 0.
√
π
2
e−a|ω|
a
3
{
e−ax , x > 0
0 , x < 0
(a > 0) 1√
2π(a+iω)
4
{
eax , x < 0
0 , x > 0
(a > 0) 1√
2π(a−iω)
5
{
senx , |x| < π
0 , |x| > π i
√
2
π
sen (πω)
ω2−1
6 f(x)eicx f̂(ω − c)
7 f(x− c) f̂(ω)e−iωc
8 f (n)(x) (iω)nf̂(ω)
9 xnf(x) inf̂ (n)(ω)
10 (f ∗ g)(x)
√
2πf̂(ω)ĝ(ω)
(f ∗ g)(x) =
∫ ∞
−∞
f(x− y)g(y)dy