Prova 2 - EDB UFMG

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Segunda Prova de EDB – 24 de fevereiro de 2021
QUESTÃO 1 – Considere a equação
utt(x, t)− 4uxx(x, t) + u(x, t) = 0.
(a) Usando o método de separação de variáveis, com u(x, t) = X(x)T (t), prove que
T ′′(t)
T (t)
+ 1 = 4
X ′′(x)
X(x)
= σ.
(b) Encontre uma solução geral da equação acima para 0 < x < π, t > 0, com as condições:{
u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, 0 ≤ t
ut(x, 0) = 0, u(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ π
(c) Resolva o problema para g(x) = 1.
QUESTÃO 2 – Considere o problema de Dirichlet no retângulo:
uxx(x, y) + uyy(x, y) = 0, 0 < x < a, 0 < y < b
u(0, y) = h(y), u(a, y) = 0, 0 ≤ y ≤ b
u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0, 0 < x < a
(a) Encontre uma solução geral deste problema.
(b) Encontre a solução no caso em que a = b = 2 e
h(y) =
{
−1, se 0 ≤ y ≤ 1
1, se 1 ≤ y ≤ 2
QUESTÃO 3 – Considere o problema de Dirichlet
urr(r, θ) +
1
rur(r, θ) +
1
r2
uθθ(r, θ) = 0, r > a, 0 < θ < α
u(r, 0) = 0, u(r, α) = 0, r ≥ a
u(a, θ) = f(θ), 0 ≤ θ ≤ α
Suponha que u esteja bem definida e seja limitada na região.
(a) Encontre uma solução geral deste problema.
(b) Encontre a solução no caso em que a = 1, α = π/4, e f(θ) = 1.