Aula 1 - Matematica basica - Relacoes metricas no triangulo retangulo (1)

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Prof. Jeferson K. de Morais
Matemática Básica para 
Alunos de Graduação
Relações métricas no triângulo retângulo
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Uma rodovia retilínea cruza, perpendicularmente, uma hidrovia,
também retilínea, por meio de uma ponte. No mesmo momento em que
um automóvel cruza a ponte, com velocidade constante de 100 km/h,
um barco passa sob a ponte com velocidade constante de 60 km/h.
Supondo que ambos estejam no mesmo plano horizontal, e que
continuem com suas velocidades iniciais, qual será a distância
aproximada entre o automóvel e o barco após 15 minutos?
Situação-problema
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Responda!
Quais equipamentos um profissional da construção civil
pode utilizar para construir duas paredes que tenham
entre si um ângulo reto (90º)?
Esquadro (Laser) Esquadro (régua)
Medidor de ângulo Teodolito
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No Egito antigo, anualmente, o faraó determinava que
fossem feitas vistorias nas terras às margens do rio Nilo
para o plantio de trigo. Para fazer esse levantamento
eles utilizavam uma corda com 12 nós equidistantes e
dobrada em forma de um triângulo. Daí o termo
triângulo egípcio ou triângulo do esticador de corda. Em
uma das suas visitas ao Egito, Pitágoras descobriu que
dobrando a corda desta forma eles estavam construindo
um Triângulo Retângulo. Por isto passou a ser
conhecido como Triângulo de Pitágoras ou Triângulo
Pitagórico.
Triângulo egípcio ou 
do esticador de cordas
Um pouco da história!
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Elementos do triângulo retângulo
Considere o triângulo retângulo a seguir, onde a hipotenusa
corresponde ao lado oposto ao ângulo de 90° (ângulo reto) e
os outros lados são os catetos.
Cateto
Cateto
HIPOTENUSA – chama assim devido
ao Grego hypotenousa, “o que se
estende debaixo (do ângulo reto)”,
já que esse é sempre o lado oposto
a tal ângulo. O nome se forma de
hypo, “debaixo”, mais teinein,
“esticar, alongar”.
𝜶
𝜷
CATETO - Grego káthetos, “descido,
abaixado de maneira reta”,"que cai
perpendicular", pois dependendo de
como visualizamos o triângulo
retângulo, um de seus lados menores
estará na vertical - como algo caindo.
Figura 1 – Triângulo retângulo
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Na figura, temos:
• Hipotenusa 𝑩𝑪 de medida 𝒂;
• Cateto 𝑨𝑪 de medida 𝒃;
• Cateto 𝑨𝑩 de medida 𝒄;
• Projeção do cateto 𝑨𝑪 sobre a hipotenusa 𝑩𝑪: 𝑯𝑪 de medida 𝒏;
• Projeção do cateto 𝑨𝑩 sobre a hipotenusa 𝑩𝑪: 𝑯𝑩 de medida 𝒎;
• Altura 𝑨𝑯 de medida 𝒉, relativa à hipotenusa 𝑩𝑪.
Elementos do triângulo retângulo
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Note que estes três triângulos são semelhantes, pelo caso AA 
de semelhança (dois ângulos congruentes). Assim temos:
Se somarmos I e III membro a 
membro, teremos:
𝒄𝟐 = 𝒎 .𝒂
𝒃𝟐 = 𝒏 . 𝒂
𝒄𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒎 .𝒂 + 𝒏 . 𝒂
𝒄𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒂 . (𝒎 + 𝒏 )
Como 𝒎+ 𝒏 = 𝒂, tem-se:
𝒄𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒂 . 𝒂
𝒄𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐
𝒂𝟐 = 𝒄𝟐 + 𝒃𝟐
O quadrado da medida da 
hipotenusa é igual à soma do 
quadrado da medida dos catetos.
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Relaciona as medidas dos lados de um triângulo
retângulo da seguinte maneira:
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados dos catetos.
Teorema de Pitágoras
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1) Em um triângulo retângulo, um ângulo agudo mede 𝟒𝟓°, e a hipotenusa,
𝟖 𝟐 cm. Qual a área desse triângulo?
A) 16 cm2
B) 20 cm2
C) 32 cm2
D) 40 cm2
E) 64 cm2
Praticando!
A área (𝑨) do triângulo é dada por:
𝑨 =
𝒃 . 𝒉
𝟐
=
𝟖 𝟐 . 𝒉
𝟐
Cálculo da medida da altura (𝒉):
Aplicando-se o teorema de 
Pitágoras no 𝚫𝑩𝑪𝑫, tem-se:
𝒍𝟐 = 𝒉𝟐 + (𝟒 𝟐)𝟐
𝟖𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝟒𝟐. ( 𝟐)𝟐
𝟔𝟒 = 𝒉𝟐 + 𝟏𝟔 . 𝟐
𝟔𝟒 = 𝒉𝟐 + 𝟑𝟐
𝟔𝟒 − 𝟑𝟐 = 𝒉𝟐
𝟑𝟐 = 𝒉𝟐
𝒉 = 𝟑𝟐
𝒉 = 𝟐𝟓
𝒉 = 𝟐𝟐. 𝟐𝟐. 𝟐
𝒉 = 𝟐 . 𝟐. 𝟐
𝒉 = 𝟒 𝟐 𝒄𝒎
Cálculo da medida do lado (𝒍):
Aplicando-se o teorema de 
Pitágoras no 𝚫𝑨𝑩𝑪, tem-se:
𝒂𝟐 = 𝒍𝟐 + 𝒍𝟐
(𝟖 𝟐)𝟐= 𝟐𝒍𝟐
𝟖𝟐. ( 𝟐)𝟐= 𝟐𝒍𝟐
𝟔𝟒 . 𝟐 = 𝟐𝒍𝟐
𝟔𝟒 = 𝒍𝟐
𝟔𝟒 = 𝒍
𝒍 = 𝟖 𝒄𝒎
=
𝟖 𝟐 . 𝟒 𝟐
𝟐
=
=
𝟑𝟐 𝟒
𝟐
= 𝟏𝟔 . 𝟐 ⇒ 𝑨 = 𝟑𝟐 𝒄𝒎𝟐
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𝟏𝟎𝟎𝒌𝒎
𝒉
=
𝟏𝟎𝟎𝒌𝒎
𝟏𝒉
=
𝟏𝟎𝟎𝒌𝒎
𝟔𝟎𝒎𝒊𝒏
Voltando à proposta inicial!
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 100 𝑘𝑚 𝑒𝑚 60 𝑚𝑖𝑛
𝑘𝑚
100
𝑥
𝑚𝑖𝑛
60
15
𝑨𝒖𝒕𝒐𝒎ó𝒗𝒆𝒍:
60𝑥 = 100 . 15
𝑥 =
1500
60
= 25 𝑘𝑚
𝑂 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 25 𝑘𝑚.
𝟔𝟎𝒌𝒎
𝒉
=
𝟔𝟎𝒌𝒎
𝟏𝒉
=
𝟔𝟎𝒌𝒎
𝟔𝟎𝒎𝒊𝒏
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 60 𝑘𝑚 𝑒𝑚 60 𝑚𝑖𝑛
𝑘𝑚
60
𝑥
𝑚𝑖𝑛
60
15
𝑩𝒂𝒓𝒄𝒐:
60𝑥 = 60 . 15
𝑥 =
900
60
= 15 𝑘𝑚
𝑂 𝑏𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 15 𝑘𝑚.
Uma rodovia retilínea cruza, perpendicularmente, uma hidrovia, também retilínea,
por meio de uma ponte. No mesmo momento em que um automóvel cruza a ponte,
com velocidade constante de 100 km/h, um barco passa sob a ponte com velocidade
constante de 60 km/h. Supondo que ambos estejam no mesmo plano horizontal, e
que continuem com suas velocidades iniciais, qual será a distância aproximada entre
o automóvel e o barco após 15 minutos?
Resolução:
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Voltando à proposta inicial!
Uma rodovia retilínea cruza, perpendicularmente, uma hidrovia, também retilínea,
por meio de uma ponte. No mesmo momento em que um automóvel cruza a ponte,
com velocidade constante de 100 km/h, um barco passa sob a ponte com velocidade
constante de 60 km/h. Supondo que ambos estejam no mesmo plano horizontal, e
que continuem com suas velocidades iniciais, qual será a distância aproximada entre
o automóvel e o barco após 15 minutos?
𝑑2 = 152 + 252
𝑑2 = 225 + 625
𝑑2 = 850
𝑑 = 850
𝑑 = 52. 34
𝑑 = 5 34
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 34 = 5,8
𝑑 = 5 . 5,8
𝑑 = 29 𝑘𝑚
Após 15 minutos o automóvel e
o barco estarão com distância
aproximada de 29 km.
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2) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 5 cm, e um dos catetos, 4
cm. Qual a altura relativa à hipotenusa desse triângulo?
A) 12 cm
B) 2,4 cm
C) 3 cm
D) 5 cm
E) 1,6 cm
Aplicando-se o teorema de Pitágoras 
no ∆𝑨𝑩𝑪, tem-se a medida 𝒃:
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
𝟓𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟒𝟐
𝟐𝟓 = 𝒃𝟐 + 𝟏𝟔
𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 = 𝒃𝟐
𝟗 = 𝒃𝟐
𝟗 = 𝒃
𝒃 = 𝟑 𝒄𝒎
Aplicando-se a relação 𝒃 . 𝒄 = 𝒂 . 𝒉, 
tem-se a medida da altura (𝒉) 
relativa à hipotenusa:
𝒃 . 𝒄 = 𝒂 . 𝒉
𝟑 . 𝟒 = 𝟓 . 𝒉
𝟏𝟐 = 𝟓𝒉
𝟏𝟐
𝟓
= 𝒉
𝒉 = 𝟐, 𝟒 𝒄𝒎
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3) Qual a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede 𝟖 𝟐 𝒄𝒎?
Aplicando-se o teorema 
de Pitágoras, tem-se:
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
(𝟖 𝟐)𝟐= 𝒍𝟐 + 𝒍𝟐
𝟖𝟐. ( 𝟐)𝟐= 𝟐𝒍𝟐
𝟔𝟒 . 𝟐 = 𝟐𝒍𝟐
𝟔𝟒 = 𝒍𝟐
𝟔𝟒 = 𝒍
𝒍 = 𝟖 𝒄𝒎
Observação:
Como sabemos a medida
da diagonal do quadrado,
se utilizarmos a fórmula
da diagonal do quadrado,
teremos:
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4) Determine o valor das incógnitas na figura representada a seguir.
Aplicando teorema de Pitágoras
no ∆𝐴𝐵𝐶, tem-se:
𝑥2 = 32 + 22
𝑥2 = 9 + 4
𝑥2 = 13
𝑥 = 13
Aplicando teorema de Pitágoras
no ∆𝐴𝐶𝐷, tem-se:
𝑦2 = 𝑥2 + 12
𝑦2 = ( 13)2+1
𝑦2 = 13 + 1
𝑦2 = 14
𝑦 = 14
Aplicando teorema de Pitágoras
no ∆𝐴𝐷𝐸, tem-se:
𝑧2 = 𝑦2 + ( 11)2
𝑧2 = ( 14)2+( 11)2
𝑧2 = 14 + 11
𝑧2 = 25
𝑧 = 25
𝑧 = 5
Assim, os valores das incógnitas são:
𝑥 = 13
𝑦 = 14
𝑧 = 5