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4 1 Prof. Jeferson K. de Morais Matemática Básica para Alunos de Graduação Relações métricas no triângulo retângulo 4 2 Uma rodovia retilínea cruza, perpendicularmente, uma hidrovia, também retilínea, por meio de uma ponte. No mesmo momento em que um automóvel cruza a ponte, com velocidade constante de 100 km/h, um barco passa sob a ponte com velocidade constante de 60 km/h. Supondo que ambos estejam no mesmo plano horizontal, e que continuem com suas velocidades iniciais, qual será a distância aproximada entre o automóvel e o barco após 15 minutos? Situação-problema 4 3 Responda! Quais equipamentos um profissional da construção civil pode utilizar para construir duas paredes que tenham entre si um ângulo reto (90º)? Esquadro (Laser) Esquadro (régua) Medidor de ângulo Teodolito 4 4 No Egito antigo, anualmente, o faraó determinava que fossem feitas vistorias nas terras às margens do rio Nilo para o plantio de trigo. Para fazer esse levantamento eles utilizavam uma corda com 12 nós equidistantes e dobrada em forma de um triângulo. Daí o termo triângulo egípcio ou triângulo do esticador de corda. Em uma das suas visitas ao Egito, Pitágoras descobriu que dobrando a corda desta forma eles estavam construindo um Triângulo Retângulo. Por isto passou a ser conhecido como Triângulo de Pitágoras ou Triângulo Pitagórico. Triângulo egípcio ou do esticador de cordas Um pouco da história! 4 5 Elementos do triângulo retângulo Considere o triângulo retângulo a seguir, onde a hipotenusa corresponde ao lado oposto ao ângulo de 90° (ângulo reto) e os outros lados são os catetos. Cateto Cateto HIPOTENUSA – chama assim devido ao Grego hypotenousa, “o que se estende debaixo (do ângulo reto)”, já que esse é sempre o lado oposto a tal ângulo. O nome se forma de hypo, “debaixo”, mais teinein, “esticar, alongar”. 𝜶 𝜷 CATETO - Grego káthetos, “descido, abaixado de maneira reta”,"que cai perpendicular", pois dependendo de como visualizamos o triângulo retângulo, um de seus lados menores estará na vertical - como algo caindo. Figura 1 – Triângulo retângulo 4 6 Na figura, temos: • Hipotenusa 𝑩𝑪 de medida 𝒂; • Cateto 𝑨𝑪 de medida 𝒃; • Cateto 𝑨𝑩 de medida 𝒄; • Projeção do cateto 𝑨𝑪 sobre a hipotenusa 𝑩𝑪: 𝑯𝑪 de medida 𝒏; • Projeção do cateto 𝑨𝑩 sobre a hipotenusa 𝑩𝑪: 𝑯𝑩 de medida 𝒎; • Altura 𝑨𝑯 de medida 𝒉, relativa à hipotenusa 𝑩𝑪. Elementos do triângulo retângulo 4 7 Note que estes três triângulos são semelhantes, pelo caso AA de semelhança (dois ângulos congruentes). Assim temos: Se somarmos I e III membro a membro, teremos: 𝒄𝟐 = 𝒎 .𝒂 𝒃𝟐 = 𝒏 . 𝒂 𝒄𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒎 .𝒂 + 𝒏 . 𝒂 𝒄𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒂 . (𝒎 + 𝒏 ) Como 𝒎+ 𝒏 = 𝒂, tem-se: 𝒄𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒂 . 𝒂 𝒄𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 𝒂𝟐 = 𝒄𝟐 + 𝒃𝟐 O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado da medida dos catetos. 4 8 Relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Teorema de Pitágoras 4 9 1) Em um triângulo retângulo, um ângulo agudo mede 𝟒𝟓°, e a hipotenusa, 𝟖 𝟐 cm. Qual a área desse triângulo? A) 16 cm2 B) 20 cm2 C) 32 cm2 D) 40 cm2 E) 64 cm2 Praticando! A área (𝑨) do triângulo é dada por: 𝑨 = 𝒃 . 𝒉 𝟐 = 𝟖 𝟐 . 𝒉 𝟐 Cálculo da medida da altura (𝒉): Aplicando-se o teorema de Pitágoras no 𝚫𝑩𝑪𝑫, tem-se: 𝒍𝟐 = 𝒉𝟐 + (𝟒 𝟐)𝟐 𝟖𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝟒𝟐. ( 𝟐)𝟐 𝟔𝟒 = 𝒉𝟐 + 𝟏𝟔 . 𝟐 𝟔𝟒 = 𝒉𝟐 + 𝟑𝟐 𝟔𝟒 − 𝟑𝟐 = 𝒉𝟐 𝟑𝟐 = 𝒉𝟐 𝒉 = 𝟑𝟐 𝒉 = 𝟐𝟓 𝒉 = 𝟐𝟐. 𝟐𝟐. 𝟐 𝒉 = 𝟐 . 𝟐. 𝟐 𝒉 = 𝟒 𝟐 𝒄𝒎 Cálculo da medida do lado (𝒍): Aplicando-se o teorema de Pitágoras no 𝚫𝑨𝑩𝑪, tem-se: 𝒂𝟐 = 𝒍𝟐 + 𝒍𝟐 (𝟖 𝟐)𝟐= 𝟐𝒍𝟐 𝟖𝟐. ( 𝟐)𝟐= 𝟐𝒍𝟐 𝟔𝟒 . 𝟐 = 𝟐𝒍𝟐 𝟔𝟒 = 𝒍𝟐 𝟔𝟒 = 𝒍 𝒍 = 𝟖 𝒄𝒎 = 𝟖 𝟐 . 𝟒 𝟐 𝟐 = = 𝟑𝟐 𝟒 𝟐 = 𝟏𝟔 . 𝟐 ⇒ 𝑨 = 𝟑𝟐 𝒄𝒎𝟐 4 10 𝟏𝟎𝟎𝒌𝒎 𝒉 = 𝟏𝟎𝟎𝒌𝒎 𝟏𝒉 = 𝟏𝟎𝟎𝒌𝒎 𝟔𝟎𝒎𝒊𝒏 Voltando à proposta inicial! 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 100 𝑘𝑚 𝑒𝑚 60 𝑚𝑖𝑛 𝑘𝑚 100 𝑥 𝑚𝑖𝑛 60 15 𝑨𝒖𝒕𝒐𝒎ó𝒗𝒆𝒍: 60𝑥 = 100 . 15 𝑥 = 1500 60 = 25 𝑘𝑚 𝑂 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 25 𝑘𝑚. 𝟔𝟎𝒌𝒎 𝒉 = 𝟔𝟎𝒌𝒎 𝟏𝒉 = 𝟔𝟎𝒌𝒎 𝟔𝟎𝒎𝒊𝒏 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 60 𝑘𝑚 𝑒𝑚 60 𝑚𝑖𝑛 𝑘𝑚 60 𝑥 𝑚𝑖𝑛 60 15 𝑩𝒂𝒓𝒄𝒐: 60𝑥 = 60 . 15 𝑥 = 900 60 = 15 𝑘𝑚 𝑂 𝑏𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 15 𝑘𝑚. Uma rodovia retilínea cruza, perpendicularmente, uma hidrovia, também retilínea, por meio de uma ponte. No mesmo momento em que um automóvel cruza a ponte, com velocidade constante de 100 km/h, um barco passa sob a ponte com velocidade constante de 60 km/h. Supondo que ambos estejam no mesmo plano horizontal, e que continuem com suas velocidades iniciais, qual será a distância aproximada entre o automóvel e o barco após 15 minutos? Resolução: 4 11 Voltando à proposta inicial! Uma rodovia retilínea cruza, perpendicularmente, uma hidrovia, também retilínea, por meio de uma ponte. No mesmo momento em que um automóvel cruza a ponte, com velocidade constante de 100 km/h, um barco passa sob a ponte com velocidade constante de 60 km/h. Supondo que ambos estejam no mesmo plano horizontal, e que continuem com suas velocidades iniciais, qual será a distância aproximada entre o automóvel e o barco após 15 minutos? 𝑑2 = 152 + 252 𝑑2 = 225 + 625 𝑑2 = 850 𝑑 = 850 𝑑 = 52. 34 𝑑 = 5 34 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 34 = 5,8 𝑑 = 5 . 5,8 𝑑 = 29 𝑘𝑚 Após 15 minutos o automóvel e o barco estarão com distância aproximada de 29 km. 4 12 2) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 5 cm, e um dos catetos, 4 cm. Qual a altura relativa à hipotenusa desse triângulo? A) 12 cm B) 2,4 cm C) 3 cm D) 5 cm E) 1,6 cm Aplicando-se o teorema de Pitágoras no ∆𝑨𝑩𝑪, tem-se a medida 𝒃: 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 𝟓𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟒𝟐 𝟐𝟓 = 𝒃𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 = 𝒃𝟐 𝟗 = 𝒃𝟐 𝟗 = 𝒃 𝒃 = 𝟑 𝒄𝒎 Aplicando-se a relação 𝒃 . 𝒄 = 𝒂 . 𝒉, tem-se a medida da altura (𝒉) relativa à hipotenusa: 𝒃 . 𝒄 = 𝒂 . 𝒉 𝟑 . 𝟒 = 𝟓 . 𝒉 𝟏𝟐 = 𝟓𝒉 𝟏𝟐 𝟓 = 𝒉 𝒉 = 𝟐, 𝟒 𝒄𝒎 4 13 3) Qual a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede 𝟖 𝟐 𝒄𝒎? Aplicando-se o teorema de Pitágoras, tem-se: 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 (𝟖 𝟐)𝟐= 𝒍𝟐 + 𝒍𝟐 𝟖𝟐. ( 𝟐)𝟐= 𝟐𝒍𝟐 𝟔𝟒 . 𝟐 = 𝟐𝒍𝟐 𝟔𝟒 = 𝒍𝟐 𝟔𝟒 = 𝒍 𝒍 = 𝟖 𝒄𝒎 Observação: Como sabemos a medida da diagonal do quadrado, se utilizarmos a fórmula da diagonal do quadrado, teremos: 4 14 4) Determine o valor das incógnitas na figura representada a seguir. Aplicando teorema de Pitágoras no ∆𝐴𝐵𝐶, tem-se: 𝑥2 = 32 + 22 𝑥2 = 9 + 4 𝑥2 = 13 𝑥 = 13 Aplicando teorema de Pitágoras no ∆𝐴𝐶𝐷, tem-se: 𝑦2 = 𝑥2 + 12 𝑦2 = ( 13)2+1 𝑦2 = 13 + 1 𝑦2 = 14 𝑦 = 14 Aplicando teorema de Pitágoras no ∆𝐴𝐷𝐸, tem-se: 𝑧2 = 𝑦2 + ( 11)2 𝑧2 = ( 14)2+( 11)2 𝑧2 = 14 + 11 𝑧2 = 25 𝑧 = 25 𝑧 = 5 Assim, os valores das incógnitas são: 𝑥 = 13 𝑦 = 14 𝑧 = 5