ESAB - Modelagem Matemática e Resolução de Problemas

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SISTEMAS DE
 INFORMAÇÕES 
 GERENCIAIS
MODELAGEM 
MATEMATICA E 
RESOLUCAO DE 
PROBLEMAS
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Secretário Geral:
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Diagramadores
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Produção do Material 
Didático-Pedagógico
 Escola Superior Aberta do Brasil
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Sumário
1. APRESENTAÇÃO 1............................................................... .8 
 
2. UNIDADE 1: O papel da Matemática na 
Sociedade............................................................................9
3. UNIDADE 2:Educação Matemática Crítica, EtnoMatemática e 
Modelagem Matemática.........................................................20
4. UNIDADE 3: A Origem da Modelagem Matemática na 
Escola....................................................................................29
5. UNIDADE 4: Conceitos e Concepções de Modelo e Modelagem 
Matemática............................................................................40
6. UNIDADE 5: Modelagem Matemática como estratégia de ensino-
aprendizagem.............................................................51 
7. RESUMO...............................................................................6 3
8. APRESENTAÇÃO 2.............................................................64 
9. UNIDADE 6: A Resolução de Problemas nos PC
N... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
10. UNIDADE 7: As Concepções de Resolução de 
Problemas................................................................77
11. UNIDADE 8: Resolução de Problemas como 
Metodologia...........................................................................87
12. UNIDADE 9: Resolução de Problemas no âmbito das 
tecnologias...........................................................99
13. UNIDADE 10: Resolução de Problemas & Modelagem 
Matemát ica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 
14. RESUMO 2..........................................................................122
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15. APRESENTAÇÃO 3............................................................123 
16. UNIDADE 11: Modelação 
M a t e m á t i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4
17. UNIDADE 12: Técnicas de Modelagem................136
18. UNIDADE 13: Modelagem Matemática na Educação Básica 
.....................................................................................148
19. UNIDADE 14: Modelagem Matemática nas Modalidades de 
EJA e Educação Profissional..............................................161
20. UNIDADE 15: Modelagem Matemática no Ensino 
Superior...............................................................................172
21. RESUMO 3 .........................................................................183 
22. GLOSSÁRIO.......................................................................184
23. BIBLIOGRAFIA...................................................................186
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Palavras do Tutor
Neste módulo serão introduzidos os fundamentos da Modelagem 
Matemática, concepções, evolução e técnicas ao longo dos últimos 
anos. A modelagem Matemática é uma área da Matemática que 
expressa situações reais em linguagem Matemática e que tem 
como principal ferramenta a Resolução de Problemas. Ter a 
compreensão da Modelagem como representação possibilita 
entender, predizer e simular eventos por meio de formulação 
problemas. Com este conhecimento aplicado, decisões podem 
ser tomadas, ocorrências podem ser antecipadas e alteradas nos 
mais variados acontecimentos.
Para o ensino da Matemática, cenários investigativos que 
apresentem elementos reais são o marco da Resolução de 
Problemas e favorecem o aprendizado. Mas atingir o principal 
objetivo do ensino que é aprender pode ser potencializado com a 
modelagem Matemática que ainda é uma abordagem curricular 
recente.
Este módulo pretende auxiliar docentes na elaboração de próprios 
modelos matemáticos para seus alunos ou ainda colaborando na 
modelagem Matemática de seus alunos. Vale ressaltar que os 
pré-requisitos matemáticos para modelar matematicamente são 
simples e de fácil compreensão e passam pela formulação de 
problemas.
Nesse sentido, o módulo está dividido em três eixos. O primeiro 
eixo – Modelagem Matemática: conceitos e possibilidades – 
apresenta a evolução de modelos, as concepções da Modelagem 
Matemática já em uma perspectiva de possibilidades para a 
melhoria do ensino e do desenvolvimento de aprendizado de 
Matemática na escola. O segundo eixo – Metodologia da 
Modelagem Matemática e a Resolução de Problemas – trata de 
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técnicas de modelagem fazendo uma inter-relação com os saberes 
produzidos ao se resolver problemas de situações reais. Ao final, 
o terceiro eixo – Modelagem Matemática para o ensino de 
Matemática – traz modelos matemáticos para discussão e 
aprimoramento, com a intenção de orientar o trabalho do docente 
que quer explorar a modelagem Matemática como estratégia de 
ensino.
Além deste material básico, outras fontes complementares serão 
usadas no desenvolvimento deste módulo, assim como também 
outros recursos didáticos. Sua dedicação aos estudos lhe levarão 
a maior aprofundamento sobre este tema.
Sucesso!
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OBJETIVO
Esclarecer o que é Modelagem Matemática e a implicação da 
Resolução de Problemas para modelar, apontando a conexão de 
ambos os temas com a formação de professores que ensinam 
Matemática.
EMENTA
•	 Considerações e conceitos iniciais sobre a Modelagem 
Matemática. 
•	 A Modelagem Matemática e Educação Matemática Crítica. 
•	 Principais Perspectivas e Discussões. 
•	 Estratégias no ensino-aprendizagem. 
•	 Exemplos de aplicação da Modelagem Matemática ao Ensino. 
•	 Resolução de Problemas. 
•	 Concepções da Modelagem Matemática associadas à 
Educação Matemática. 
•	 Abordagem sócio-crítica da Modelagem Matemática. 
•	 Projetos de Modelagem Matemática. 
•	 Modelagem Matemática, EtnoMatemática e Educação 
Matemática Crítica. 
•	 O papel da Matemática na sociedade. 
•	 Formas de organização e condução da Modelagem Matemática. 
•	 A Modelagem Matemática e Ambientes de Aprendizagem. 
•	 A relação do professor com a Modelagem Matemática. 
•	 A Modelagem e os Modelos Matemáticos na Educação 
Científica.
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CONCEITOS E POSSIBILIDADES
O primeiro eixo deste módulo apresenta a importância da 
Matemática, os fundamentos da Educação Matemática Crítica, 
a evolução de modelos e as concepções da Modelagem 
Matemática. Estes assuntos são abordados em cinco unidades. A 
primeira unidade aborda a história da Matemática e seu papel 
social, a segunda unidade traz a fundamentação da Educação 
Matemática Crítica, recortando a EtnoMatemática e a Modelagem 
Matemática nesse contexto. Nas terceira e quarta unidades, 
localizamos a Modelagem Matemática dentro do cenário de nova 
abordagem curricular e encontramos uma visão mais conceitual 
de modelo e modelagem Matemática e na quinta unidade temos a 
modelagem como estratégia de ensino e de aprendizagem. 
Objetivos: Conhecer as conexões entre a reflexão da prática 
docente e as mudanças curriculares que apontam a Modelagem 
Matemática, contextualizar modelos matemáticos e o surgimento 
da Modelagem Matemática e caracterizá-la.
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O papel da Matemática na Sociedade
Objetivos: Identificar a importância de se estudar Matemática para 
melhor compreender a realidade.
Nesta unidade você compreenderá a necessidade e a importância 
da Matemática no contexto social.
Breve evolução da Matemática
A Matemática pode ser observada nas mais diversas situações 
que nos envolvem. Nos contornos de objetos e edificações, nas 
medidas de comprimento e massa. Em casa,na escola, no 
trabalho. Enquanto área de conhecimento, a Matemática se 
desenvolve pela argumentação, curiosidade, investigação e 
pesquisa.
A arqueologia pode nos ajudar sobre a origem da Matemática. 
Registros da Antiguidade, já apontavam a necessidade do homem 
em relacionar acontecimentos naturais à sua vida. A divisão do 
tempo, mudanças de estações, estudo dos corpos celestes. 
Os primeiros textos matemáticos que se tem notícia foram escritos 
na Mesopotâmia enquanto os chineses inventavam o ábaco. Isso 
se deu entre 3000 a.C a 2500 a.C. Mais tarde, por volta de 1600 
a. C. foi escrito o papiro de Rhind, considerado o principal texto 
matemático do Egito. A importância deste papiro está que nele se 
encontram regras para o cálculo de operações de frações, 
equações, problemas de aritmética, cálculo de áreas e volumes. A 
Matemática estava presenta para resolver problemas reais como 
contagem de rebanho, cálculo de área e valoração de objetos. 
Nos escritos, já se encontravam relações de grandezas e formatos 
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geométricos ao se descriminar diferenças entre animais, diferenças 
de tamanhos de um mesmo objeto, forma redonda da lua e a forma 
retilínea observada em algumas árvores.
Por muito tempo, a Matemática foi definida como ciência dos 
números, grandezas e forma. Eram estes conceitos que ocupavam 
a mente dos estudiosos mais antigos e fundamentaram o raciocínio 
matemático. A investigação Matemática tinha como foco o mundo 
perceptível aos olhos.
Sobre avanços da geometria elementar, a era Pitagórica, entre 
550 a 450 a. C. foi marcante. Foram os pitagóricos que analisaram 
primeiro a noção de número, definiram os números primos, 
progressões e teoria das proporções. Também foram os pitagóricos 
que fizeram a relação de correspondência entre a aritmética e a 
geometria como o teorema de Pitágoras. Ao povo hindu devemos 
a criação do sistema decimal, que se deu entre 300 e 600.
Entre 1100 e 1620, muitos são os eventos marcantes na história 
da Matemática como método de desenho para segmento no qual 
a longitude fosse a raiz real positiva de um polinômio cúbico, a 
aplicação da álgebra à geometria, a invenção dos logaritmos e a 
criação da geometria analítica por Descartes.
No período de 1640 a 1750, Pascal construiu a primeira máquina 
de calcular com números de até 6 dígitos. Logo em seguida, foi 
criado o cálculo infinitesimal e um pouco mais adiante surge o 
enunciado e demonstração parcial de que qualquer polinômio de 
grau n tem n raízes reais.
Em um período curto e muito intenso para a Matemática, entre 
1760 e 1895, se provou que o número PI (π) é irracional, surgiu a 
letra i para imaginário e Laplace apresenta a Teoria Analítica das 
Probabilidades e a aplica em problemas demográficos, jurídicos e 
astronômicos. Surge também a teoria dos conjuntos.
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O século XX é marcado pela descoberta de modelo matemático 
que descreve a transição da ordem ao caos e a tecnologia é um 
dos principais recursos na investigação e aplicação dos 
conhecimentos matemáticos.
Hoje, ainda temos a Matemática presente em situações rotineiras 
do nosso cotidiano e muitas vezes são realizados por calculadoras 
e computadores como saldo no banco e pagamentos realizados 
virtualmente. Mas com a evolução da humanidade, a reflexão 
sobre o mundo e sobre o homem se ampliou e hoje a Matemática 
permite relacionar a compreensão coerente e reflexiva com a 
realidade por meio de representações encontradas na linguagem 
Matemática.
Observa-se que há uma tendência mundial de “matematizar” o 
mundo. Empiricamente, pensamos que qualquer problema em 
nossa vida pode ser equacionado, pode ser expresso na forma de 
ax + by = c ou outro tipo de representação Matemática. As questões 
são, como surgiu a, x, b, y, e, c ? o que são? o que representam? 
quem os inventou? por que foram inventados? Existe alguma 
relação entre eles? A elaboração dessa representação vale para 
todas as situações reais que a originaram?
São muitas as indagações, mas podemos afirmar que no percurso 
da história da Matemática, ela passou e continua passando por 
aperfeiçoamento. Suas teorias são usadas para exploração e 
avanço de diversas áreas de conhecimento, por meio de estudos 
e pesquisas sobre situações conhecidas e novas, mas sempre 
fazendo relações com a realidade que vivemos. A Matemática que 
hoje temos, com certeza é muito mais sofisticada do que a 
conhecida pelos egípcios.
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Matemática no Cotidiano
Para muitos, a Matemática é considerada complicada e difícil e 
por isso ela merece ser desmistificada. Na verdade, usamos de 
vários conceitos matemáticos em diversas situações do dia a dia 
e não pode ser entendida apenas como pré-requisito de 
conhecimentos futuros. A Matemática está em nosso cotidiano e 
seu ensino contribui na formação do cidadão.
Também podemos destacar que atualmente, muitas profissões de 
destaque necessitam de conhecimento matemático e que os 
avanços tecnológicos e científicos impactam a sociedade atual, 
exigindo do processo de aprendizagem, maneiras inovadoras de 
se construir e aplicar conhecimentos.
A Matemática está na nossa vida quando fazemos compras em 
um supermercado; a soma do caixa, no cálculo do troco e do 
desconto. Quando cozinhamos e calculamos quantidade, unidade 
e peso de cada item. Quando nos locomovemos e calculamos 
tempo de percurso, distância, gasto de combustível. Quando 
calculamos nossas despesas em relação ao nosso pagamento, 
aposentadoria, férias, décimo terceiro e tantos outros exemplos. 
Japiassu (1985) cita uma famosa frase do físico Galileu Galilei 
(1564 – 1642): “As leis da natureza estão escritas na linguagem 
da Matemática”. Com esta afirmação, Galileu diz que a realidade 
pode ser descrita e compreendida pela Matemática. Elaborar uma 
representação Matemática da realidade, demanda conhecer a 
linguagem e dominar seus conceitos, ou seja, é preciso aprender 
Matemática.
Podemos observar a Matemática quando organizamos informações 
e a expressamos em forma de funções, gráficos e tabelas. A 
representação dessas informações por meio da linguagem 
Matemática amplia as formas de representação de uma situação 
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e contribui na análise de uma realidade, de um problema, a partir 
do estudo de fatos.
Não há dúvida das relações entre conhecimentos matemáticos e 
situações reais como podemos exemplificar: fazer cálculos 
estatísticos e saber como interpretá-los em análise de eventos; 
entender o uso e a aplicação de razão, proporção, porcentagem 
em Matemática financeira; compreender e usar os diferentes tipos 
de média, desvio padrão, juros para tomada de decisões; saber 
ler e interpretar tabelas e gráficos para fazer previsões de 
fenômenos, entre outros.
Como ação de popularização da Matemática, o biênio 2017-
2018 foi direcionado para promoção de eventos em todos país, 
com a proposta de mostrar como a Matemática faz parte do 
cotidiano das pessoas, envolvendo empresas, organizações da 
sociedade civil e acadêmicos, conforme orientação do Ministério 
de Ciência, Tecnologia, Inovações e Comunicações - MCTIC 
A relação e integração entre Ciência, Tecnologia e Comunicação 
fica evidente, quando pensamos em instrumentos tecnológicos 
como computadores. São máquinas que trabalham com cálculos 
e equações, coletando e processando dados em larga escala. 
Para isso, utilizam algoritmos e modelos complexos, também 
matemáticos, sendo ambos a base da inteligência artificial. Esta 
última é usada para definir quais das informações deverão ser 
consideradas e como elas se relacionam na realidade estudada.
Podemos afirmar que a Matemática é um conhecimento atemporal 
que auxilia no pensamento analítico e lógico, refinando o julgamento 
sobre determinada realidade.
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Estudo da Matemática
Somente com o que foi explanado, já haveria o suficiente para 
compreender a importância da Matemática em nossas vidas, 
porém ainda se observa uma resistência na aprendizagem. Algunsapontam que a dificuldade acontece pela grande quantidade de 
conteúdo, outros que o problema está na formação do professor. 
Há ainda os que indicam que seu ensino deveria ser mais lúdico, 
com menos conceitos e mais práticas, porém há um consenso 
que a Matemática está presente no cotidiano e merece ser 
compreendida sobre a perspectiva de necessidade social.
Como desafio ao ensino, o professor deve ter claro que existem 
muitos e diferentes tipos de linguagem para descrever e explicar 
a realidade, porém a Matemática tem ferramentas muito específicas 
e apropriadas para isso. Usar dessas ferramentas favorece a 
valorização da Matemática pela sua compreensão em situações 
do dia a dia. Assim o estímulo a leitura e interpretação de textos; 
observando a análise de informações que podem ser encontradas 
como números, grandezas, tabelas ou gráficos; em jornais, 
revistas, livros, na plataforma impressa ou eletrônica; revelam o 
potencial transdisciplinar da Matemática.
De forma significativa, propor soluções para problemas que 
envolvam conteúdos matemáticos, em questões que abordem 
ambiente, cultura, política e sociedade, também ressaltam 
importância da Matemática na vida do indivíduo e, por consequência 
impactam na realidade educacional, transformando-a a partir do 
enfoque dado a temas interessantes e atuais da sociedade. É 
importante que os alunos
[…] saibam usar a Matemática para resolver problemas 
práticos do cotidiano; para modelar fenômenos em 
outras áreas do conhecimento; compreendam que a 
Matemática é uma ciência com características próprias, 
que se organiza via teoremas e demonstrações; 
percebam a Matemática como um conhecimento social 
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e historicamente construído; saibam apreciar a 
importância da Matemática no desenvolvimento 
científico e tecnológico (BRASIL, 2006, p. 69).
O professor pode auxiliar no entendimento da Matemática e qual 
seu papel na sociedade quando explora a contextualização 
desenvolvendo junto com os alunos, competências, habilidades e 
técnicas que levem à todos a descrição, compreensão e 
interpretação de situações já conhecidas e por conhecer.
O entendimento da Matemática pode se dar no âmbito escolar, na 
interação social, por meio de vivências, observações e diálogos. 
O fato é que usamos a Matemática na vida diária e há interesse 
cada vez maior dos matemáticos profissionais em aperfeiçoar os 
conhecimentos matemáticos de maneira que, através dela, numa 
visão reflexiva sobre a realidade, seja mais fácil compreender o 
mundo e transformá-lo.
Assim, a Matemática pode ser considerada como conhecimento 
fundamental que promove o pensamento crítico por meio do 
raciocínio perante as situações encontradas no cotidiano.
Ensino e Aprendizagem da Matemática
Somente com o que já foi exposto sobre a presença da Matemática 
em nossas vidas, não deve haver dúvida sobre as razões pelas 
quais se ensina Matemática e a necessidade de sua aprendizagem, 
mas essa aprendizagem deve ter sentido para o aluno.
Chama a atenção que muitas pessoas dominam conhecimentos 
de Matemática que encontramos no cotidiano, mas não conseguem 
relacionar o que aplicam com os conteúdos trabalhados na escola. 
Isso leva a reflexão que a forma como a Matemática está sendo 
ensinada precisa ser revista. 
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A aprendizagem significativa da Matemática passa pela 
aproximação de conteúdos matemáticos com situações reais, 
interessantes aos alunos. Quando temas expressivos da sociedade 
atual são abordados, a Matemática surge contextualizada, 
promovendo a apreensão de conceitos, mudanças atitudinais e 
procedimentais. Dessa forma, se desenvolve a autonomia do 
aluno no exercício da cidadania, promovendo sua participação na 
comunidade de maneira mais crítica e ativa.
Para nós, contextualização dos conceitos matemáticos significa 
valorização dos conhecimentos prévios dos alunos, articulando 
experiências concretas e diferenciadas com a percepção, 
reconhecimento, estudo e interpretação da Matemática presente 
e inserida na vivência estudada, promovendo que em situações 
futuras os alunos usem o que foi aprendido. Contextualização nos 
PCN (BRASIL, 1999) é:
configura-se em uma forma de abordar a ciência num 
âmbito social, econômico e cultural.” Dessa maneira, a 
contextualização não pode ser sinônimo apenas de 
cotidiano, mas sim o campo no qual, acontecem as 
relações da teoria científica com a realidade do aluno. 
(p.9)
Para ensinar Matemática, o professor deve propor atividades que 
levem o aluno a vincular os conhecimentos matemáticos que já 
tem, a um contexto no qual o estudante entenda. Assim, este 
contexto deve estar a um nível cognitivo alcançável, facilitando a 
aprendizagem.
De forma específica, contextualizar Matemática mobiliza 
competências e habilidades de raciocínio logico, análise e síntese. 
Amplia para o aluno, a capacidade de crítica, intervenção e 
transformação social, exercitando a autonomia. Micotti (1999) diz: 
A aplicação dos aprendizados em contextos diferentes 
daqueles em que foram adquiridos exige muito mais 
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que a simples decoração ou a solução mecânica de 
exercícios: domínio de conceitos, flexibilidade de 
raciocínio, capacidade de analise e abstração. Essas 
capacidades são necessárias em todas as áreas de 
estudo, mas a falta delas, em Matemática, chama a 
atenção (MICOTTI, 1999, p.154).
Na perspectiva de significação do que se aprende, os conteúdos 
matemáticos devem ser vistos como algo já conhecido, presente 
nas diversas áreas de conhecimento e trabalhados muito além 
das aulas expositivas que predominam definições, explanações e 
aplicações de fórmulas e exercícios. Estamos falando da 
viabilização em desenvolver trabalhos, de cerne político-social, a 
partir de mudanças de paradigma, nos qual a Matemática se dá 
de forma transversal no currículo, colaborando para a formação 
crítica dos alunos.
Os avanços tecnológicos trouxeram novas propostas didáticas em 
relação ao ensino da Matemática, uma vez que a Matemática 
aplicada para resolver e explicar problemas diários também se 
transformou. Consideramos que o aluno, indivíduo; é um ser social 
que integra uma cultura e que usa a Matemática e, por isso deve 
conhecê-la também na perspectiva de relações interpessoais, 
trazendo à consciência, por meio da sistematização trabalhada 
nas salas de aula; sua utilização.
Sobre isso D’Ambrósio (2001, p.22) diz:
O cotidiano está impregnado dos saberes e fazeres 
próprios da cultura. A todo instante, os indivíduos estão 
comparando, classificando, quantificando, medindo, 
explicando, generalizando, inferindo e, de algum modo, 
avaliando, usando os instrumentos materiais e 
intelectuais que são próprios à sua cultura.
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Podemos afirmar que o conhecimento matemático, devido a sua 
importância, interfere na formação social e também intelectual. 
Isso já seria o bastante para justificar a relevância do ensino da 
Matemática. 
No processo de escolarização formal, muitos alunos avançam 
sem perceber a relação entre conteúdos matemáticos e aplicações 
da Matemática no dia a dia. É preciso atentar e rever como se dá 
a abordagem e exploração de conhecimentos matemáticos de 
forma que sejam aprendidos significativamente. A Matemática 
deve ser compreendida pelos alunos mais que uma necessidade 
cientifica, mas como necessidade natural e social.
O espaço escolar é o lugar no qual conhecimento e sistematização 
devem estar presentes. Isso exige que o professor, como mediador 
do processo de ensino, estimule e provoque no aluno, o 
reconhecimento dos conteúdos matemáticos com a vida diária, 
promovendo a aprendizagem. O planejamento das atividades 
deve considerar entre outros aspectos; o conhecimento prévio dos 
alunos, o grupo social e cultural no qual eles estão inseridos e 
desenvolver a aplicação dos conteúdos matemáticos em situações 
problemas encontradas no cotidiano que os cerca.
Ao promover a aprendizagem, dando significado à produção do 
conhecimento matemático,pela sua contextualização; o professor 
potencializa o entendimento de diferentes etapas da aprendizagem 
vividas pelos seus alunos. Desse modo é possível enfatizar 
conteúdos e promover sua aplicação em situações reais. Dúvidas 
serão esclarecidas e a participação dos alunos é mais intensa e 
pertinente na solução de problemas trazidos de sua vida diária.
Cenários como esse, promovem novos questionamentos e 
investigações. O professor deve estar pronto para esta situação e 
ajudar o aluno a recuperar suas vivências e aplicá-las em novas 
situações.
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Vemos que o professor que se preocupa com a contextualização, 
que explora a Matemática encontrada no cotidiano, não se esquece 
que cada aluno tem sua própria realidade e que há diferentes 
níveis de dificuldades na aprendizagem em função disso. O 
importante é proporcionar oportunidades que ajudem na superação 
das mesmas.
É preciso enfatizar que o ensino da Matemática deve ser visto 
como compromisso social e que professores devem valorizar os 
conteúdos matemáticos que se manifestam no âmbito escolar, 
considerando o contexto social e cultural no qual o aluno está 
inserido, facilitando então o entendimento e uso da Matemática na 
solução de cálculos e equações que podem representar, na 
linguagem Matemática os problemas expostos na realidade vivida.
Leia o texto “Contextualização no Ensino-Aprendizagem 
da Matemática: Princípios e Práticas” de Anderson 
Oramísio Santos e Guilherme Saramago de Oliveira. Os 
autores procuram responder as seguintes questões: 
Quais as possibilidades de aprendizagem da Matemática 
por meio da Contextualização dos conteúdos 
matemáticos? Conteúdo não contextualizado, pode ser 
aplicado em aulas?
ESTUDO COMPLEMENTAR
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No início do século XX, na década de 30, um grupo de pensadores estava 
incomodado com aspectos sociais que ampliavam o aumento das 
desigualdades em diferentes aspectos. Alguns acumulavam riqueza enquanto 
outros, viviam uma crescente pobreza. As discussões sobre liberdade e 
participação politica não eram temas comuns em todos os grupos sociais e 
na educação, os contrastes eram gritantes. Este incomodo toma forma e 
assim surge a Teoria Crítica na Escola de Frankfurt. Esta Teoria se contrapõe 
a formação capitalista e especificamente ao conservadorismo teórico 
encontrado na Educação. Teve com maiores representantes Habermas na 
Alemanha e Paulo Freire na América Latina.
Mais adiante, na década de oitenta no século XX, alguns pensadores 
demostravam preocupação com o ensino e aprendizagem da Matemática na 
escola na perspectiva da Teoria Crítica. A preocupação originou reflexão e 
questionamentos críticos sobre a Educação Matemática considerando 
aspectos sociais, econômicos, políticos e culturais da época. 
Como um dos principais proponentes da Educação Crítica no processo de 
ensino e Matemática, temos Skovsmose (2007) que enfatiza o diálogo, o 
exercício da cidadania, o esvaziamento do poder entre professor e aluno. 
[...] para que a educação, tanto como prática quanto 
como pesquisa, seja crítica, ela deve estar a par dos 
problemas sociais, das desigualdades, [...] e deve tentar 
fazer da educação uma força social progressivamente 
ativa [...]. Para ser crítica, a educação deve reagir às 
contradições sociais. 
Para Skovsmose, o processo educacional na Educação Matemática Crítica 
deve priorizar problemas que a comunidade encontra no seu cotidiano. Na 
perspectiva da criticidade, professor e aluno assumem a postura de 
investigadores da realidade, oportunizando e promovendo a produção de 
conhecimento por meio de atividades intelectuais que envolvam pesquisa, 
diálogo e pensamento crítico. Assim como Freire, Skovsmose acredita que 
as reflexões sobre as práticas sociais se transformam em ações gerando 
possíveis impactos positivos ao grupo social envolvido.
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A Educação Crítica proposta por Skovsmose discute as relações sociais 
vigentes quando questiona as relações de poder e as desigualdades 
encontradas na sociedade. O autor vê que a Matemática pode contribuir 
neste debate quando desloca o sentido do ensino da Matemática como 
proposta libertadora sócio-crítica e não como mais uma área de conhecimento 
que no âmbito escolar, ajuda na estratificação social.
Os estudos de Skovsmose identificam na Educação Matemática concepções 
pedagógicas, que tem como objetivo formar e preparar indivíduos passivos 
para o mercado de trabalho, submissos a hierarquia sem contestação. Traz 
em suas pesquisas temas e conceitos interessantes como a democracia e o 
papel sócio político da Educação Matemática, a ideologia da certeza, o 
paradigma do exercício, o poder de formatação, as relações de poder. 
Quando se refere a democracia, Skovsmose (2001, p. 70) diz: 
[...]democracia refere-se às condições formais relativas 
a algoritmos de eleição, condições materiais relativas a 
distribuição, condições éticas relativas à igualdade e, 
finalmente, condições relativas à possibilidade de 
participação e reação. 
O conceito apresentado é bastante amplo e tem relação sobre os possíveis 
papéis sociais e políticos da Educação Matemática Crítica, Skovsmose 
aponta a Educação Matemática Crítica como espaço de representação dos 
conflitos que envolvem a cidadania crítica, discriminação por classificação e 
diferenciação, filtragem ética e submissão a ordens. O autor está se referindo 
a competência democrática que precisa ser desenvolvida para que se possa 
analisar criticamente modelos em nossa sociedade. Ele acredita que atitudes 
críticas podem ser tomadas com contribuição da Matemática ponderando e 
reavaliando as bases de sustentação de modelos e seus impactos na 
sociedade.
O desenvolvimento da capacidade democrática fortalecida pela Educação 
Matemática Crítica se traduz em relações igualitárias entre docentes e alunos, 
desalienação em relação currículo, valorizando o que ele traz de oculto e uso 
de propostas, estratégias e materiais “libertadores”. O ensino promoverá o 
entendimento de processos sociais a partir de estudo de modelos reais, nos 
quais a Matemática pode estar presente. Tais modelos serão relevantes para 
o aluno e portanto significativo no seu processo de aprendizagem. 
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Pode-se dizer que o objetivo da Educação Matemática Crítica é desenvolver 
a competência de interagir e agir em situações reais, político-sociais 
estruturadas pela Matemática. A esta competência Skovsmose dá o nome de 
Materacia ou Matemácia e propõe trabalhos com projetos e abordagens temáticas 
que envolvam a modelagem.
Sobre a ideologia da certeza, o ensino tradicional da Matemática a favorece. 
Em sala de aula, exercícios de resposta única e exata, favorecem a crença 
nos números e acabam por impactar nas crenças sociais sobre a superioridade 
da Matemática, como ciência que que leva a verdade absoluta infalível, sem 
contestação.
As ideias que baseiam esta ideologia são:
A Matemática é perfeita, pura e geral, no sentido de que 
a verdade de uma declaração Matemática não se fia 
em nenhuma investigação empírica. A verdade 
Matemática não pode ser influenciada por nenhum 
interesse social, político ou ideológico. 
A Matemática é relevante e confiável, porque pode ser 
aplicada a todos os tipos de problemas reais. A aplicação 
da Matemática não tem limite, já que é sempre possível 
matematizar um problema. (BORBA; SKOVSMOSE, 
2001, p. 130). 
A Educação Matemática Crítica pode desafiar esta ideologia a partir de 
questionamentos sobre a neutralidade da Matemática, sobre interesses e 
interessados na escolha de modelos, sobre as tendências ideológicas, sociais 
e políticas dos modelos, sobre os resultados absolutos obtidos com e pelo 
ensino da Matemática tradicional.
Sobre o paradigma do exercício Skovsmose observa que, a maioria dos 
exercícios feitos pelos alunos do ensino fundamental ao ensino médio sejam 
baseados em comandos. Este tipo de prática é antiga e tem mais caráter de 
treinamento. Deve-se resolver a maiorquantidade possível de exercícios 
modelo aumentando as possibilidades de sucesso em avaliações escolares 
ou em outras situações que repetem este tipo de exercícios modelos. 
Dessa forma, porém, pouco se desenvolve a análise, a capacidade de 
resolver problemas, a criatividade e o raciocínio lógico o que vai no sentido 
contrário do discurso social dominante. Com um olhar crítico, o paradigma do 
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exercício, atende uma demanda social que se beneficia de uma base social 
que é treinada para obedecer comandos enquanto um grupo hegemônico, 
define e toma decisões por todos, desenvolve a inovação, a diversidade de 
soluções, a capacidade criadora e o pensamento lógico, ou seja, modelos 
matemáticos encontrados em várias esferas de poder, são usadas para 
formatar condutas sociais.
Com a compreensão deste cenário fica fácil entender que existe uma relação 
de poder e que quanto mais tecnologia se encontra em uma sociedade, mais 
importante é o papel da Matemática em situações de tomada de decisões. 
Em uma sociedade fortemente tecnológica, elimina-se o fator humano no ato 
da decisão através do uso contínuo e acrítico de modelos. Nos estudos de 
Skovsmose a Matemática e o poder está presente nos modelos matemáticos 
adotados pelas principais lideranças ou representantes de um grupo, podem 
ser governos ou empresas. As estruturas Matemáticas encontradas nos 
modelos gerenciais explicam e justificam as tomadas de decisões. Isso pode 
ser verificado quando por exemplo, se conhece os modelos de regulação de 
tráfego em rodovias e cidades, modelos econômicos que impactam políticas 
econômicas, modelos que orientam os cálculos do imposto de renda, 
contribuição previdenciária, seguros e outros. 
Skovsmose reforça que esta formatação da conduta social se dá pela crença 
que a Matemática gera resultados únicos e incontestáveis, assim como se 
verificou na sala de aula durante a vida acadêmica dos indivíduos. As práticas 
pedagógicas tradicionais não valorizam a busca pelo conhecimento por meio 
de questionamento e procedimentos inovadores e críticos promovendo a 
preparação de uma massa trabalhadora passiva e bastante eficaz no que 
compete a cumprimento de comandos ou ordens. 
Assim pouco ou quase nada se desenvolve a competência democrática já 
apontada e é por isso que de acordo com a proposição da Educação 
Matemática Crítica, aos professores se faz necessário buscar novas 
possibilidades de ensino, uma vez que há impacto na vida futura do aluno, no 
sentido de participação crítica e ativa na sociedade.
Como resistência ao poder simbólico implícito na formatação da realidade, 
temos a EtnoMatemática, tema a ser abordado a seguir.
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EtnoMatemática
Os princípios da EtnoMatemática foram construídos ao longo do tempo por 
meio de questionamentos e reflexões culturais, filosóficas e políticas sobre o 
espaço escolar, o ensino, a formação para o ensino e a aprendizagem. 
Quando se reflete sobre as práticas educativas que atendem as demandas 
reais do aluno as proposições de Freire (2011) se destacam porque ele 
desafia o professor a fazer uma autorreflexão crítica sobre sua prática 
docente. Para Freire (2011), a prática reflexiva, se dá pelo diálogo entre 
professor e aluno, transformando o ensino tradicional centrado no professor 
em ensino democrático: “o educador democrático não pode negar-se o dever 
de, na sua prática docente, reforçar a capacidade crítica do educando, sua 
curiosidade […].
Sendo assim, a EtnoMatemática tem como base a valorização da Matemá-
tica encontrada em famílias, comunidades e grupos culturais, conservando 
suas características. Há ênfase na herança cultural do aluno na construção 
do seu aprendizado e o sujeito é visto como ser sociocultural no sentido mais 
amplo do conceito. 
Destaca-se como principal fonte desse tema Ubiratan D’Ambrosio (2007) que 
sobre EtnoMatemática diz:
...para compor a palavra etno matemá tica utilizei as 
raízes tica, matema e etno para significar que há várias 
maneiras, técnicas, habilidades (ticas) de explicar, de 
entender, de lidar e de conviver com (matema) distintos 
contextos naturais e socioeconômicos da realidade 
(etnos). 
...busca entender a aventura da espécie humana na 
busca de conhecimento e na adoção de comportamentos 
e esta metodologia [...]é embebida de ética, focalizada 
na recuperação da dignidade cultural do ser humano. 
(D’AMBROSIO 2007, p. 70)
A EtnoMatemática considera importante a valorização do aprendizado da 
Matemática em contextos não científicos e que contribuíram para entender e 
explicar as diferentes realidades em grupos sociais. Também reconhece que 
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o aprendizado do sujeito traz de sua cultura; como ele vê e faz Matemática, 
como ele resolve problemas que aplicam a Matemática, como pensa a 
Matemática, carregada de significados próprios e raciocínios únicos. 
Assim, é preciso buscar o entendimento e a compreensão da realidade 
desses grupos para que, sem interferência da identidade cultural dos sujeitos 
que constituem esses grupos, apresentar algo ainda não conhecido para ser 
acrescido como conhecimento. Isso é um grande desafio ao professor, uma 
vez que a grande parte dos cursos de formação docente é extremamente 
científico, com carência de oportunidades em debates e questionamentos. 
Freire (2011) chama atenção sobre a limitação encontrada na formação que 
não considera aspectos sociais e culturais do docente e do aluno quando 
afirma: “Tenho medo, do cientista demasiado seguro da segurança, senhor 
da verdade e que não suspeita sequer da historicidade do próprio saber”. 
Skovsmose (2001) enfatiza que “a educação deve ser orientada para proble-
mas, quer dizer, orientada em direção a uma situação “fora” da sala de aula” 
e desse modo o processo de ensino estimula o pensamento, a criatividade 
e a aplicação do raciocínio lógico e crítico para soluções dos problemas do 
dia-a-dia. 
Vale a pena lembrar também, como desafio ao professor, que o avanço tec-
nológico próprio da sociedade atual tem impactado as relações interpessoais 
e a interação com o mundo real perdeu espaço. É preciso atentar que a 
imersão sem limites ao mundo virtual pode levar a pouco desenvolvimento 
do olhar crítico sobre a realidade, sobre as necessidades humanas, sobre a 
política. Sobre isso Freitas (2010) diz: 
...o saber enciclopédico é algo do passado, porque as 
fontes de informações são cada vez mais acessíveis a 
todas as pessoas. Isto significa que é necessário um 
novo enfoque da educação, de acordo com as neces-
sidades formativas da sociedade atual. [...] é bom co-
meçar a pensar o quanto é importante os estudantes 
perceberem que a Matemática não está presa em livros 
e apenas na escola. 
Podemos então dizer que o foco da EtnoMatemática está nas possibilidades 
de ensinar a Matemática fazendo conexões com o cotidiano, valorizando cul-
tura e história dos alunos, fazendo o processo de aprendizagem, significativo.
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D’Ambrosio (2007) reforça este conceito quando afirma que é importante 
resgatar reconhecer e valorizar as histórias dos sujeitos a partir de seus 
contexto culturais que abrange o saber/fazer dos indivíduos. O autor diz: 
As distintas maneiras de fazer [práticas] e de saber 
[teoria], que caracterizam uma cultura, são parte do 
conhecimento compartilhado e do comportamento 
compatibilizado. Assim como o comportamento e 
conhecimento, as maneiras de saber e fazer estão em 
permanente interação. (D’AMBROSIO 2007, p. 19)
Se pensarmos na valorização do contexto sociocultural dos indivíduos em 
uma perspectiva da Educação Matemática Crítica, a EtnoMatemática já se 
justifica e sua inserção no ensino dos conhecimentos matemáticos representa 
oportunidades de distanciamento das ideais hegemônicas encontradas nos 
sistemas de poder que acabam por formatar e controlar os sujeitos.
É preciso que fique claro também que a presença da EtnoMatemática no contexto 
escolar, não exclui a Matemática científica e acadêmica nemsignifica reduzir as 
discussões em sala de aula, somente sobre situações do cotidiano que os alunos já 
conheçam. Ao contrário, através da EtnoMatemática, é possível promover reflexões 
e avaliações sobre significado de conteúdos para o aluno, auxiliando o 
professor na definição das estratégias de abordagem curricular. Tais 
questionamentos e análises potencializam a aprendizagem, uma vez que 
considera os conhecimentos produzidos pelo aluno a partir do seu contexto 
histórico, social e cultural.
De forma agregadora, a EtnoMatemática dá voz ao saber e fazer dos sujeitos 
em seus contextos sociais e culturais, considerando seu cotidiano.
Modelagem Matemática em conexão com a EtnoMatemática e Educação 
Matemática Crítica
A Etnomatemática pode ser entendida como um conjunto de saberes e formas 
de fazer, de um grupo cultural específico, diante de determinada realidade ou 
fenômeno. A Modelagem Matemática busca modelar este fenômeno ou 
situação real com o objetivo de melhor compreender, representar e se for 
necessário, interferir na realidade estudada. 
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Quando trabalhamos com a Modelagem Matemática partimos de temas 
relevantes da realidade do aluno e dos conhecimentos produzidos no contexto 
social e cultural no qual ele está inserido. Observamos então que a Modelagem 
Matemática envolve acontecimentos diários que podem ser desde escolher 
como fazer um pagamento que envolva acréscimo de juros, escolher um 
caminho com menos tráfego, conferir contas de consumo, como elaborar um 
modelo de previsão de crescimento populacional. 
Na análise de situações comuns do dia a dia, numa visão crítica, se observam 
várias conexões entre Educação Matemática Crítica, Etnomatemática e 
Modelagem Matemática, uma tríade. Como aspectos comuns vemos, o 
envolvimento do aluno em seu cotidiano durante o processo de ensino, 
desenvolvendo a crítica e, o raciocínio. Vemos também, a importância da 
investigação reflexiva e avaliativa de problemas reais que podem definir 
decisões a serem tomadas sobre a situação estudada, considerando 
costumes, crenças e valores da sua comunidade.
Essa tríade da Matemática permite uma postura reflexiva e crítica e foge do 
ensino tradicional ao trabalhar com projetos de modelagem, expandindo a 
sistematização da teoria, descartando as sessões de exercícios e adotando 
a abordagem de temas que permitam aos alunos a discussão de problemas 
que sejam de interesse deles. Bassanezi afirma (2013, p. 38), “com a 
modelagem o processo de ensino-aprendizagem não mais se dá no sentido 
único do professor para o aluno, mas como resultado da interação do aluno 
com seu ambiente natural”
A Modelagem Matemática, em uma proposta de Etnomatemática e embebida 
da Educação Matemática Crítica deve discutir a presença da Matemática na 
sociedade, pensando os problemas criados por ela promovendo por meio de 
um pensamento reflexivo ideias emancipatórias ao aluno durante sua 
formação acadêmica, contribuindo para sua formação enquanto cidadão 
ativo e atuante na sociedade na qual pertence.
Podemos finalizar esta unidade afirmando que cada uma destas tendências 
levam ao ensino que faz pensar e questionar, analisando a realidade de uma 
forma diversa, extrapolando o espaço escolar e levando o conhecimento 
matemático produzido para a vida diária .
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Por que é importante conhecer os 
fundamentos da Educação Matemática 
Crítica e sua relações com a Etnomatemática 
e a Modelagem Matemática na perspectiva 
do processo de aprendizagem? 
REFLEXÃO
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Surgimento da Modelagem Matemática
Assim como Barbosa (2001), em vez de “Modelagem Matemática” 
vamos usar somente a palavra “Modelagem” sem o adjetivo 
“Matemática” evitando assim repetições do termo.
A Modelagem Matemática e suas aplicações se destacam no 
cenário internacional da Educação Matemática no século XX mais 
especificamente na década de 1960 quando matemáticos 
aplicados discutem novas formas de se ensinar a Matemática. 
Segundo Barbosa (ibid), este movimento aponta para uma 
Matemática escolar que deve transpor as fronteiras vigentes 
daquele momento, de caráter pragmático no que tange ao 
conhecimento da Matemática e na formação Matemática das 
pessoas . 
Essa perspectiva impactou os currículos de formas diferentes, 
uma vez que aplicações do cotidiano foram incorporadas nos anos 
iniciais da escola, mas sem continuidade nos anos seguintes da 
educação básica.
Em 1968, o Lausanne Symposium que tem como tema “Como 
ensinar Matemática de modo que seja útil”, a Modelagem se 
projeta como estratégia de desenvolvimento da habilidade de 
matematizar situações da vida por meio de elaboração de modelos. 
A proposta de modelar problemas seria um atrativo ao estudo da 
disciplina, facilitando a aprendizagem da mesma.
No cenário nacional, na década de 70, surgem trabalhos de um 
grupo de professores vinculados a Matemática Aplicada na 
UNICAMP dirigidos por Ubiratan D’Ambrósio. Meados desta 
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década, na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 
(PUC-RJ), liderados pelo professor Aristides Camargo Barreto 
acontecem estudos que tem a estratégia de ensino de Matemática 
a partir de modelos envolvendo alunos de Engenharia. Estes 
estudos levam a elaboração de modelos em áreas específicas 
como Biologia, Ecologia, Linguística entre outras.
No começo da década de 80, as pesquisas de D’Ambrosio de viés 
sociocultural, somadas as investigações de Bassanezi ascende a 
Modelagem à Etnomatemática, ou seja, do ponto de vista do 
currículo, o ensino da Matemática deveria ser a partir do contexto 
sociocultural dos alunos.
Barbosa (ibid) assinala o Curso de Pós-Graduação – lato sensu –, 
na Universidade Estadual de Guarapuava, em Modelagem 
Matemática, para professores de Matemática, coordenado por 
Bassanez e o curso de Pós Graduação em Educação Matemática 
pela UNESP em Rio Claro. Para Silveira (2007), os trabalhos 
desenvolvidos contribuíram para a expansão da Modelagem no 
Brasil.
Em paralelo, no mesmo período, Berticelli (1999, apud QUARTIERI, 
2012) esclarece que estudos sobre currículos e programas levam 
a uma reforma curricular na qual as disciplinas e os conteúdos 
abarcam atividades que fazem a aprendizagem mais significativa 
aos alunos e a escola, espaço social crítico perante o currículo 
vigente.
Assim, o uso da Modelagem por meio de situações problema, 
propunha liberdade de criar, estimar, raciocinar podendo inclusive 
determinar o conteúdo a ser estudado. Este é um ponto positivo 
para Burak (1987 apud QUARTIERI, 2012), uma vez que resolução 
de situações problemas a partir da vivência da elaboração de 
modelos, contribuem para criticidade. 
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Ao fim da década de 80, vivemos a explosão da sociedade da 
informação e as exigências profissionais estão ainda mais focadas 
no conhecimento das ciências, Matemática e tecnologia. O avanço 
tecnológico pede alterações curriculares que levam a introdução 
do uso da Modelagem Matemática na Educação Básica.
Com este contexto, chegamos na década de 90, com grande 
expansão da Modelagem no ensino da Matemática em diferentes 
níveis de escolaridade, porém Barbosa (Ibid) observa que há um 
distanciamento entre os estudos realizados e o currículo de 
Matemática executado na Educação Básica. O autor ainda pontua 
a carência de referencias teóricos e práticos que geram resistência 
da efetivação da modelagem no currículo da Matemática.
Vale lembrar também que transformações na área tecnológica e 
de informação, principalmente pelo advento do computador, 
exigem como diz Oliveira (2001 apud QUARTIERI, 2012) novas 
habilidades cognitivas e atitudinais. Esta situação faz com que a 
Modelagem passe a ser associada com desenvolvimento 
tecnológico e econômico contribuindo para o desenvolvimento do 
pensamento analítico e sintético, assim como para interpretação e 
comunicação clara e precisa de variadas formas de linguagem.
As habilidades cognitivas ficam mais evidentes quando o indivíduo 
sedepara com situações complexas que demandem múltiplas 
estratégias, mais de uma solução, necessitem de avaliação e 
interpretação. Situações que exijam domínio da linguagem 
Matemática e desenvoltura na resolução de novos problemas por 
meio do saber matemático. As habilidades atitudinais tem a ver 
com o reconhecimento da Matemática como instrumento para 
Resolução de Problemas. 
Ambas habilidades aliadas aos recursos tecnológicos permitem 
uma abordagem nova no tratamento dos problemas e a Modelagem 
enriquece as metodologias do ensino da Matemática.
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A velocidade de execução de cálculos realizados pelo computador 
transformam o antigo cenário científico e pesquisas relacionadas 
a elaboração e análise de modelos se dão em cada vez maior 
número impactando o perfil do trabalhador contemporâneo.
Ao indivíduo que trabalha, é exigido uma escolarização mínima e 
sua garantia de ocupação no mercado de trabalho dependem de 
suas capacidades em trabalhar em grupo, de estabelecer relações, 
agilidade de respostas e principalmente ser criativo ao enfrentar 
situações desconhecidas. A criticidade e a oportunidade de 
modelar matematicamente promovem habilidades necessárias 
para tomadas de decisão, de avalição de procedimentos tendo o 
raciocínio lógico formal como instrumento e, seguindo a análise 
de Barbosa (2001) a Modelagem no Brasil, implicada na 
Etnomatemática, considera o entorno dos alunos nas perspectivas 
antropológicas, culturais, econômicas, políticas e sociais.
Essa análise de Barbosa mostra o afastamento entre a proposta 
pragmática presente no princípio do movimento dos estudos da 
Modelagem, com a proposta sociocrítica presente nos Parâmetros 
Curriculares Nacionais – PCNs de 1998. O pragmatismo na 
Modelagem instiga habilidades na resolução de situações 
problemas, encontradas no dia a dia e no mercado de trabalho, 
ressaltando os saberes matemáticos que são aplicados para 
solução, mas que ainda carece de reflexão crítica sobre questões 
da sociedade.
Os PCNs orientam para que os conteúdos curriculares sejam os 
meios para a aquisição das capacidades já citadas e de forma 
específica a Matemática deve assinalar para demandas do 
cotidiano oportunizando aos alunos aprendizagem contextualizada 
e significativa. Tais fatores são exercitados na Modelagem 
possibilitando a integração dos conhecimentos matemáticos com 
outras áreas de conhecimento.
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Para os dias atuais, Santos (2014) traz os dados de 2012 do 
Programa Internacional de Avaliação de Aluno – PISA que indica 
a 58ª posição do Brasil em Matemática e que 66% dos brasileiros 
de até 15 anos não conseguem interpretar situações nas quais 
seja necessário fazer deduções, calcular percentuais, expressar 
frações ou representar gráficos. 
Zulma e Madruga (2017) investigaram a Modelagem como objeto 
de pesquisa no âmbito dos anos iniciais da Educação Fundamental. 
As autoras apontam que se apresentam concepções diversas 
sobre Modelagem e há estudos que analisam variados aspectos 
como procedimentos das etapas de modelagem, pensamento 
matemático, vivências dos futuros docentes e do docente formador. 
Entre os resultados obtidos por ambas destaca-se que há maior 
interesse dos alunos quando há compreensão daquilo que se 
apresenta inicialmente, que a Modelagem promove transformações 
na prática docente e que as reflexões sobre o conhecimento 
matemático dos alunos mobilizam processos cognitivos durante a 
aplicação de Modelagem.
Todos os autores citados até aqui concordam que a Modelagem 
Matemática deve estar integrada no currículo e que atividades de 
modelagem promovem o desenvolvimento de habilidades como 
saber analisar, decidir, investigar, refletir entre outras.
Esses dados reforçam a importância de um ensino de excelência 
ainda no nível fundamental, o que nos leva a pensar sobre a busca 
dos professores em implantar novos métodos de abordagem para 
a aprendizagem de Matemática.
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Breve reflexão sobre a Formação de Professores e a 
Modelagem Matemática
Segundo Santos (2014), a educação bancária criticada por Paulo 
Freire, ainda é muito presentes nas escolas e os motivos são 
diversos como falta de conhecimento dos professores, falta de 
condições de ensino, interpretação equivocada de que novas 
propostas são “modas” e que vão passar, resistência por parte da 
família, dos docentes e dos administradores escolares entre 
outras. 
As propostas de ensino estão muito longe da real situação das 
salas de aula e do professor, dificultando o trabalho do docente e 
por consequência, do desenvolvimento da aprendizagem do 
aluno, uma vez que adaptações de contextos específicos 
encontram obstáculos variados e já citados. Observa-se um 
reducionismo da prática docente que não responde as necessidades 
sociais atuais, com manutenção de uma escola conservadora. 
Quando se pensa em aplicar a Modelagem Matemática, deve-se 
saber que para sua efetividade no ambiente educativo exige 
estudo. Partir de temas que sejam interessantes para os alunos, 
mas que não sejam mediados pelo professor não é o suficiente.
O fato é que o distanciamento apontado por Barbosa (2001) 
anteriormente, ocorre, dando ao professor, justificativa e argumento 
a não experimentação de novas formas de ensinar.
A formação docente então passa a ser ação prioritária no 
compromisso de viabilizar processos educativos que promovam a 
emancipação efetiva da sociedade. É pela formação que a 
interpretação e implementação de propostas curriculares 
acontecem e neste sentido as pesquisas didáticas, voltadas para 
o desenvolvimento de novas de práticas pedagógicas do professor 
podem contribuir para transformação do ensino atual.
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A Modelagem pode contribuir como uma alternativa que relaciona 
conteúdos curriculares com situações problemas extraescolares 
ao abordar contextos que envolvem os setores de produção, 
indústria ou ainda serviços.
Nos estudos de Barbosa (2001), ele já aponta algumas fragilidades 
na formação inicial do professor como, pouco contato com 
aplicações Matemáticas e métodos e pouca ou quase nenhuma 
incorporação de análises ou intervenções em situações de sala de 
aula que proponham reflexão sobre Modelagem. O autor (2001, p. 
4) ainda destaca “...a formação de professores em relação à 
Modelagem deve se basear em duas frentes indissociáveis: a 
Modelagem propriamente dita e o conhecimento prático decorrente 
de sua abordagem na sala de aula”
Ainda que nas licenciaturas aspectos específicos do conteúdo 
matemático devam ser trabalhados de forma integrada aos 
aspectos pedagógicos, a formação inicial apresenta nos dias 
atuais carência de vivências, de práticas sobre o contexto escolar.
Para se explorar a Modelagem em sala de aula, o docente tem 
que estar preparado para enfocar os diferentes temas que possam 
surgir pela instrumentação da Matemática, que exige domínio de 
conteúdos, os quais serão desenvolvidos durante o processo de 
aprendizagem.
Se a formação inicial não atende a aplicação da Modelagem na 
prática dos professores, o crescimento profissional deve ser 
aprofundado por uma reflexão permanente sobre sua práxis. 
Nóvoa (1995,1997) esclarece que a formação também se dá no 
momento do exercício da docência, ou seja, nas suas experiências, 
no momento que está na sala de aula, nas suas relações com 
seus alunos e demais professores que somam às reflexões 
contínuas sobre sua atuação docente, mas há que se considerar 
também a formação continuada. 
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A formação continuada, apoiada pelas políticas públicas atuais, 
podem complementar a formação inicial, como também subsidiar 
e promover a melhora na qualidade de ensino. 
Nacarato e Paiva (2006) apontam a formação continuada como 
parte fundamental do processo permanente de estudos e práxis, 
inerentes da jornada profissional do professor e, entre as lacunas 
observadas nas licenciaturas, inserir alternativas metodológicas e 
ampliar a carga horária de atividades práticas podemcontribuir 
para minimizar as deficiências no ensino de Matemática. 
Estudos recentes (Goulart, 2015) indicam que formação continuada 
pode ser uma alternativa positiva para inserir a Modelagem 
Matemática nos currículos e dessa forma, de fato, melhorar o 
processo de ensino e o processo de aprendizagem da Matemática. 
Goulart (2015) cita Quartieri (2013) e Abreu (2011). A investigação 
de Quartieri identifica que os professores pesquisados, que 
estavam implicados em formação continuada, pouco sabiam ou 
desconheciam a Modelagem Matemática e que citaram a 
Modelagem como uma das metodologias mais produtivas dos 
encontros, tanto como eficácia metodológica para o ensino de 
Matemática, como oportunidade de troca de experiências levando 
à melhoria nos processos educacionais. Já a pesquisa de Abreu 
destaca a contextualização de conteúdos e a vivência de práticas 
pedagógicas sobre Modelagem. 
Tambarussi e Klüber (2017) discutem especificamente a formação 
de professores em Modelagem Matemática a partir da verificação 
do pouco aprofundamento teórico dada à esta estratégia nas 
licenciaturas e nos cursos de formação continuada. E deve-se 
ressaltar aqui além dos docentes que tem a oportunidade da 
formação, o docente formador também deve ter impregnado na 
sua prática a Modelagem. Ressaltam que cursos complementares 
precisam atentar para mudar efetivamente a prática docente, 
integrando a Modelagem na sala de aula. Os autores também 
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enfatizam que duração da formação, volta à universidade e prática 
docente como elemento de formação não garantem o exercício da 
Modelagem na sala de aula ou presença nos currículos.
Bueno (2011) afirma que quando nos propomos a desenvolver 
atividades de Modelagem devemos ter claro quais os objetivos a 
serem atingidos. Caso o objetivo seja ensinar conteúdos previstos 
nos programas curriculares, a forma de trabalho pode ser diferente 
se o que se quiser ensinar seja reflexões sobre questões sociais, 
econômicas ou políticas, porém em ambos objetivos, cabe a 
Matemática como instrumento para resolução dos problemas 
postos.
A prática formativa orientada para Modelagem, portanto merece 
ter seu espaço e hoje se constata que ela acontece com mais 
frequência voltada para a Educação Básica. Oliveira (2017) explica 
que seja na formação inicial ou continuada, o diálogo, a discussão 
e o amadurecimento promovem a cada interação, produção de 
conhecimento socializado e compartilhado pelos professores e 
pelo docente formador.
A reflexão pela experiência e na prática leva os professores a 
aprender sobre a aplicação da Modelagem no processo de ensino 
de conteúdos e conceitos matemáticos e do cotidiano, impactando 
o processo de aprendizagem, dando significado e fazendo da 
Matemática, recurso fundamental para compreensão e 
interpretação da realidade. Isso se dá quando ideias Matemáticas 
concebidas a partir da interpretação de resultados, possibilitam a 
elaborar argumentos, representados por modelos matemáticos, 
explicitados pela linguagem Matemática.
Bisognin e Bisognin (2015) relatam que a proposição da Modelagem 
no processo de ensino, implica aprender para ensinar e assim 
possibilita revisão de conteúdos matemáticos e aprendizagem de 
uma abordagem metodológica que se avizinha da realidade do 
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aluno, oportunizando ao professor estabelecer relações entre 
conhecimentos já estabelecidos durante seu vida profissional e 
sua formação, inicial e contínua. Nos estudos das autoras, os 
professores pesquisados concluem que a Modelagem promove a 
compreensão de conteúdos matemáticos pela tomada de decisões, 
percepção, reflexão, relações entre conceitos e produção de 
conhecimento significativo.
No aprender para ensinar, sistematizado na prática formativa, é 
fundamental que os docentes vivenciem a elaboração e a aplicação 
de atividades de ensino e aprendizagem baseados na Modelagem, 
partindo de análises de conteúdos e conceitos matemáticos que 
serão desenvolvidos com os alunos de maneira que se tornem 
compreensíveis.
Oliveira (2017), Tambarussi e Klüber (2017) concordam que os 
cursos de formação, iniciais ou continuados devem focar a reflexão 
e a práxis, para que a inserção da Modelagem se dê nos currículos 
e nas salas de aulas, projetando-se dos documentos oficiais e se 
concretize como realidade na prática pedagógica.
Com o que foi exposto, a docência que incorpora a Modelagem 
deve estar respaldada em aspectos epistemológicos próprios, 
conhecimentos únicos desenvolvidos a partir de situações 
específicas do contexto escolar, o que nos leva a refletir sobre a 
concepção, estrutura e teoria que constituem o conhecimento e 
domínio da aplicação da Modelagem Matemática.
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Saiba mais:
Visite os sites das entidades internacionais e nacionais de 
Educação Matemática:
•	 American Mathematical Society (MAS) – http://www.ams.
org/home/page
•	 Centro de Referência de Modelagem Matemática no Ensino 
(CREMM) - www.furb.br/cremm
•	 European Mathematical Society (EMIS) - http://www.emis.
de/
•	 Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) - 
http://www.sbembrasil.org.br
Nestes sites você vai encontrar informações sobre 
Matemática, modelagem Matemática, artigos, congressos 
notícias e outros links interessantes.
http://www.ams.org/home/page
http://www.ams.org/home/page
http://www.furb.br/cremm
http://www.emis.de/
http://www.emis.de/
http://www.sbembrasil.org.br
www.esab.edu.br 40
Modelo
De acordo com o dicionário do Aurélio a palavra modelo pode 
significar imagem, desenho ou objeto que serve para ser imitado 
(desenhando ou esculpindo). O conceito de modelo se constrói 
quando se pensa em forma ideal que tem por função a criação de 
outras formas, modelos, a partir da primeira. É um paradigma. 
Gouveia Jr (1999) diz que o modelo é uma metáfora que nos ajuda 
a explicar outro modelo, como quando comparamos o sistema 
nervoso central com um computador.
Para Bassanezi (2013) modelo é a formalização de um sistema 
artificial no qual foi selecionado argumentos ou parâmetros consi-
derados essenciais para explicação, entendimento ou intervenção 
na realidade. O autor destaca dois tipos de modelos: o primeiro é 
o modelo teórico que se constitui a partir de uma teoria existente, 
uma explicação, uma construção hipotética que auxilia na análise 
e compreensão de uma realidade tendo como base, um código de 
interpretação fundamentado nas principais variáveis presentes 
nos fenômenos, variáveis estas originadas das hipóteses ou dos 
experimentos.
O segundo modelo destacado por Bassanezi (2013) é o modelo 
objeto, que representa fato ou objeto e que tem como principal 
característica, variáveis homogêneas e estáveis. Sua limitação é 
que variações individuais e detalhes do objeto ou do fenômeno 
podem não ser representados neste modelo. Sua representação 
pode ser pictórica, simbólica ou conceitual por meio de fórmulas 
Matemáticas. 
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Modelo Matemático
Os modelos representam, explicam e facilitam a compreensão de 
situações que podem ou não ser matematizadas. É muito comum 
no âmbito da Matemática recorrer à modelos para se comunicar 
e para Bean (2005) as múltiplas realidades vistas a partir de uma 
situação, levam a diferentes modelos, uma vez que a interpretação 
do problema remete aos interesses dos envolvidos.
Biembengut e Heim (2014) afirmam que modelos podem ser ex-
pressos em termos familiares, fórmulas, diagramas, tabelas, re-
presentações geométricas, gráficos, expressões numéricas, 
equações, softwares e outros. 
Para Cristofoletti (1999) modelo matemático é “qualquer repre-
sentação simplificada da realidade ou de um aspecto do mundo 
real que surja como de interesse ao pesquisador, que possibilite 
reconstruir a realidade, prever um comportamento, uma transfor-
mação ou uma evolução”. A definição para Sodré (2007) de mode-
lo matemático é que sua característica mais comum é a simplifica-
ção da realidade com a manutenção das características do mundoreal, de forma que o comportamento do modelo seja o mais próxi-
mo possível da situação real.
Bassanezi (2013, p. 20) define modelo matemático como “um 
conjunto de símbolos e relações Matemáticas que representam 
de alguma forma o objeto estudado”. Sua linguagem deve ser 
sucinta, objetiva, sem imprecisões, oportunizando um grande 
conjunto de resultados, proposições ou teoremas que levem a 
soluções numéricas por meio de métodos computacionais. O 
autor classifica os modelos matemáticos conforme a o tipo de 
Matemática usada: 
•	 Linear ou não linear: de acordo com as características das 
suas equações básicas; 
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•	 Estático: lembra o modelo pictórico, traz a representação da 
forma do objeto; 
•	 Dinâmico: este modelo permite a simulação das alterações 
de cada estágio de um fenômeno; 
•	 Educacional: se baseia em número reduzido e simples de 
suposições e na maioria das vezes, suas soluções são 
analíticas.
Todos estes modelos não representam fielmente a realidade e por 
isso não são adequados para prever uma situação futura, mas ao 
ser elaborado agrega experiência e novas ideias para a depuração 
de melhores modelos que se aproximem ao máximo da realidade 
em estudo. 
Os métodos computacionais podem ser programas ou aplicativos, 
partem de hipóteses reais e trabalham com as inter-relações entre 
as variáveis do fenômeno, gerando sistema de equações com 
variados parâmetros, inviabilizando tratamento analítico. Quanto 
mais próximo estiver o modelo da realidade, mais difícil sua 
validação e também mais complexo é o modelo.
Quando se estuda um problema, a construção de um modelo 
dentro de uma teoria promove o alcance de resultados e a solução 
de se dá de forma simples, porém técnicas ou métodos podem ser 
escassos para se obter os resultados.
Para se obter um modelo matemático é preciso que a linguagem 
utilizada, seja clara e não gere dúvidas, o que exige que a descrição 
do problema seja representada em símbolos e operações de uma 
teoria Matemática. Temos então um problema real expresso 
matematicamente e tratado pela Matemática, porém usando da 
interpretação, na mesma via temos representações Matemáticas 
que se aproximam de problemas reais.
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Com o que foi exposto até aqui, podemos afirmar que os modelos 
matemáticos representam a natureza de uma realidade, porém 
nem todas as situações reais podem ser representadas 
matematicamente e esta dificuldade é um limitador no uso de 
modelos matemáticos. Por outro lado, as possibilidades de 
representação da realidade fazem com que esses modelos sejam 
versáteis, considerando inclusive que são ajustáveis, levando a 
diferentes resultados para diferentes situações reais de um mesmo 
contexto, ou sistema. Além disso, os modelos matemáticos são 
fáceis de executar, apresentam baixo custo, as respostas podem 
ser obtidas rapidamente, facilitando a simulação de situações que 
não poderiam ser experimentadas na prática. 
Os modelos matemáticos passam por evolução assim como o a 
própria Matemática, evidência clara quando pensamos nos 
dispositivos digitais que promoveram o desenvolvimento e a 
aplicação da Matemática em variadas áreas de conhecimento. 
Seu uso é reconhecido socialmente e cientificamente devido as 
suas contribuições na descrição e previsão de fenômenos físicos, 
naturais, sociais e outros.
Para Almeida (2013), a elaboração de um modelo matemático se 
dá a partir da representação do que se sabe sobre a situação 
estudada. O autor diz que professor e aluno, no início da 
investigação do problema, ainda não sabem bem os conceitos ou 
conteúdos que serão subsídios para o processo de modelação e 
isso leva a diversas propostas de Resolução de Problemas, com 
base nas mesmas informações. Assim, um mesma situação real 
pode ser desenvolvida a partir de um mesmo modelo, que se 
adapta aos diferentes níveis de escolaridade ou conhecimento o 
tema. O exemplo clássico é a decomposição de uma figura 
geométrica em figuras geométricas menores para determinar a 
área total da figura geométrica maior.
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Apresentamos então, de forma sintética a definição de modelo 
matemático de alguns autores já citados:
Autor Modelo matemático é?
Almeida; Silva; Vertuan Um sistema conceitual, 
descritivo ou explicativo, 
expresso por meio de uma 
linguagem ou uma 
estrutura Matemática e que 
tem por finalidade 
descrever ou explicar o 
comportamento de outro 
sistema.
Barbosa O modelo matemático é 
qualquer representação 
Matemática da situação em 
estudo. 
Bassanezi Formalização de um 
sistema artificial no qual foi 
selecionado argumentos 
ou parâmetros 
considerados essenciais 
para explicação, 
entendimento ou 
intervenção na realidade.
Bean É uma construção simbólica 
conceitual (construto 
conceitual), expressa 
principalmente na linguagem 
Matemática, que auxilia na 
interpretação/compreensão 
e/ou tomada de decisões. 
Biembengut É uma representação do 
mundo real por meio de lin-
guagem Matemática. Pode 
ser um conjunto de expres-
sões aritméticas, fórmulas, 
equações algébricas, gráfi-
cos, representações ou pro-
grama computacional que 
leve a solução ou permita a 
dedução de solução.
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Cristofoletti Qualquer representação 
simplificada da realidade 
ou de um aspecto do 
mundo real que surja como 
de interesse ao 
pesquisador, que 
possibilite reconstruir a 
realidade, prever um 
comportamento, uma 
transformação ou uma 
evolução.
Gouveia, Jr Modelo é a forma ideal, o 
paradigma, tendo por 
função a criação de outros 
como ele.
Sodré Simplificação da realidade 
com a manutenção das ca-
racterísticas do mundo 
real, de forma que o com-
portamento do modelo seja 
o mais próximo possível da 
situação real.
Quadro 1: Concepção de Modelo Matemático.
Fonte: Elaborado pela autora
Modelagem Matemática
A Modelagem Matemática pode ser entendida como um processo 
dinâmico, abstrato e generalista para prever tendências, traduzindo 
situações reais em problemas matemáticos e assim validando os 
modelos matemáticos. Vale lembrar que os modelos matemáticos 
são aproximação da realidade que passam por depuração contínua 
e que podem representar parte ou todo de um sistema.
A modelagem pode ser compreendida como o processo de 
elaboração do modelo que será usado para estudar a situação e 
resolvê-la. Na perspectiva da Matemática, a Modelagem 
Matemática é a criação de estratégias e argumentos expressos 
em um sistema matemático que facilite o entendimento da situação 
problema que está sendo estudada. 
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[...] Parte de uma situação-problema de alguma 
área do conhecimento e busca solucioná-la 
utilizando-se das teorias Matemáticas. Trata-se 
de um processo que consiste em dispor os 
dados de um fenômeno ou da questão 
investigada em sintonia com alguma estrutura 
Matemática que possibilite representá-los e, 
principalmente, possibilitar uma descrição, uma 
resposta ou solução plausível, uma previsão. 
BIEMBENGUT e ZERMIANV (2011, p. 289).
A Modelagem pode ser vista como método científico de pesquisa 
ou ainda como estratégia de ensino e aprendizagem. Sua essência 
é transformar problemas reais em problemas matemáticos e 
propor soluções em uma linguagem que possa ser compreendida 
facilmente. 
Na educação, a Modelagem Matemática facilita a aprendizagem e 
seu potencial pode ser ampliado quando teoria e prática se 
integram. Tem caráter motivacional porque auxilia na compreensão 
de situações reais e estimula na procura de agir e transformar a 
situação estudada.
Seja no viés de método científico, seja no viés de estratégia de 
aprendizagem, a Modelagem contribui na formação do indivíduo 
na compreensão e domínio de recursos científicos e tecnológicos.
Para Barbosa (2001) a Modelagem é uma investigação de caráter 
matemático e que acontece através de algoritmos, conceitos e 
ideias da Matemática que tem como diferencial, relação com as 
outras áreas de conhecimento. O autor explica que a Modelagem 
Matemática pode serusada em diversas situações como o 
crescimento de uma planta, criação de aves, fluxo escolar entre 
outras. Por isso, observa-se um aumento de discussões e estudos 
sobre o uso da Modelagem Matemática como instrumento 
metodológico para o ensino da Matemática. 
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Concepções da Modelagem Matemática
São muito os autores que pensam sobre Modelagem Matemática 
e por isso, somente alguns aqui forma citados. A escolha dos 
mesmos se deu em virtude do reconhecimento de seus trabalhos 
científicos, diferencial das concepções propostas e atuação com 
Modelagem no presente. 
A modelagem Matemática pode ser entendida como método 
científico e nessa visão ela pressupõe multidisciplinaridade. 
Observam-se avanços em várias áreas como Biologia, Física, 
Química e outras. Estes avanços se dão pela necessidade de 
buscar leis, ensaiar hipóteses, formular problemas sendo a 
Matemática ferramenta fundamental na compreensão de 
fenômenos, levando o indivíduo a exercitar a cidadania no processo 
de criação de um modelo. Este modelo então é testado e havendo 
falhas, depura-se o modelo. 
Pesquisas que envolvem conteúdos matemáticos e aspectos 
computacionais na Resolução de Problemas, nas áreas de ciências 
e tecnologia, buscam a Modelagem com a ideia de simular, analisar 
e prever. Temas como energia, fluxo de calor, processamento de 
sinais, automação de manufatura entre outros estão entre os que 
mais se destacam.
A Modelagem também pode ser entendida como uma área da 
Educação Matemática, que apresenta variadas definições e há 
um grupo de autores que entendem a Modelagem como ambiente 
par o ensino e aprendizagem, caminho, estratégia, prática, método 
pedagógico.
Caldeira (2009) considera que a Modelagem, é uma concepção 
da Educação Matemática, que se origina de projetos, sem o 
compromisso de abordar conteúdos curriculares, mas de explorar 
conceitos da Matemática. Almeida (2004) define como uma 
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alternativa pedagógica para o ensino da Matemática, que instiga 
a investigação numa perspectiva socioepistemológica; Araújo 
(2009) afirma que é um ambiente que promove a aprendizagem 
sob um referencial crítico de Educação Matemática. 
Barbosa (2001) diz que Modelagem Matemática é um ambiente 
investigativo no qual se dá aprendizagem e que as atividades 
desenvolvidas podem ser interpretadas como um modo de educar 
para a cidadania. Ainda para o autor, a Modelagem promove a 
reflexão sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática. Também 
afirma que há um ganho cognitivo, quando a Modelagem leva ao 
contato com novos conceitos. Sobre Modelagem Matemática a 
visão de Barbosa (2001) é “trata-se de uma oportunidade para os 
alunos indagarem situações por meio da Matemática sem 
procedimentos fixados previamente e com possibilidades diversas 
de encaminhamento” (BARBOSA, 2001, p. 5). 
Para Bassanezi (2013, p. 45), “trata-se de um processo dinâmico 
de busca de modelos adequados, que sirvam de protótipos de 
alguma entidade”. O autor diz que pela modelagem, através de 
cálculos, é possível validar modelos e prever comportamentos de 
um sistema, ligando então o mundo com as representações, “A 
modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar 
situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções 
devem ser interpretadas na linguagem usual” (BASSANEZI, 2013, 
p. 24). O autor ainda comenta que a Modelagem aprimora a forma 
de agir e pensar Segundo Biembengut (2014, p. 21): 
Modelagem é o processo envolvido na 
elaboração de modelo [...]. Trata-se de um 
processo de pesquisa. A essência deste 
processo emerge na mente de uma pessoa 
quando alguma dúvida genuína ou circunstância 
instigam-na a encontrar uma melhor forma para 
alcançar uma solução, descobrir um meio para 
compreender, solucionar, alterar, ou ainda, criar 
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ou aprimorar algo. E em especial, quando a 
pessoa tem uma percepção que instiga sua 
inspiração. 
Os estudos de Biembengut (2014) indicam que a Modelagem 
pode ser desenvolvida em qualquer nível de ensino, do fundamental 
ao superior. Diferencia em sua concepção, os objetivos da 
Modelagem para a Matemática Aplicada e da sala de aula. Sobre 
a Matemática Aplicada, a autora aponta que o objetivo é extrair a 
essência da situação problema e elaborar um modelo simplificado 
para resolvê-la, aperfeiçoando assim técnica, tecnologia, teoria, 
produto e outros. Para sala de aula, o objetivo é facilitar e 
proporcionar o ensino e a aprendizagem de conhecimentos 
acadêmicos que contribuam na atuação das pessoas na sociedade 
na qual estão inseridas.
Bassanezi (2013), Biembengut (2007) e outros autores esclarecem 
que há um processo de criação de modelos que passa por muitas 
interações. Biembengut e Hein (2014) afirmam que há passos na 
elaboração dos modelos como: reconhecimento da situação 
geradora do problema, questionamentos e investigação sobre o 
problema, elaboração e explicitação da proposta das hipóteses, 
formulação e construção Matemática do modelo e, validação do 
modelo pela análise das possibilidades obtidas. 
Burak (2004) considera que a Modelagem auxilia o aluno a elaborar 
condições sobre sua aprendizagem propiciando a integração da 
abstração vista em sala de aula com situações problemas reais, 
favorecendo a autonomia do indivíduo durante o processo de 
modelagem. Para Burak (2004) o desenvolvimento da Modelagem 
em sala de aula motiva o interesse dos alunos, mas exige do 
docente e da instituição uma nova postura em relação a organização 
dos conteúdos, ou seja, um re-olhar sobre aprendizagem e ensino 
sob uma nova perspectiva de educação.
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Bean (2007) entende Modelagem Matemática como adoção de 
premissas e formulação de hipóteses. Para o autor, Modelagem é 
“uma atividade, entre uma variedade de possíveis atividades, 
utilizada para lidar com situações problemáticas empregando a 
linguagem Matemática” (2007, p. 48). Ele ainda diz:
A modelagem é uma atividade humana na qual 
uma parte da realidade está conceitualizada, 
de forma criativa, com algum objetivo em mente. 
O cerne da modelagem reside no recorte e na 
formulação de um isolado, ou seja, na 
conceitualização de um fenômeno com 
fundamento em premissas e pressupostos que 
remetem tanto ao fenômeno quanto aos 
objetivos do modelador. (BEAN, 2009, p. 94).
O diferencial de Bean está na ênfase das expressões de premissas 
e pressupostos. Assim, o autor nos chama a atenção para os 
interesses e demandas que baseiam os pressupostos e que são 
os fundamentos dos algoritmos encontrados nos modelos. Sem 
reflexão, a compreensão e representação da realidade podem ser 
reproduções, acríticas e tradicionais de atividades.
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Conceito de Estratégia de Ensino
Podemos dizer que métodos e técnicas praticadas pelos docentes 
em sua atuação são estratégias de ensino e tem como objetivo 
promover a aprendizagem.
A origem da palavra estratégia está ligada ao planejamento das 
ações militares vistas nas guerras. Atualmente, é um vocábulo 
largamente usado no ambiente escolar. Petrucci e Batiston (2006) 
dizem que 
[...] a palavra ‘estratégia’ possui estreita ligação 
com o ensino. Ensinar requer arte por parte do 
docente, que precisa envolver o aluno e fazer 
com ele se encante com o saber. O professor 
precisa promover a curiosidade, a segurança e 
a criatividade para que o principal objetivo 
educacional, a aprendizagem do aluno, seja 
alcançada. (PETRUCCI E BATISTON 2006, p. 
263).
Temos então que as estratégias de ensino devem mobilizar os 
alunos de tal forma que eles se envolvam profundamente com o 
processo de aprendizagem levando o docente a uma busca 
contínua de estratégias alternativas que possam seduzir os alunos 
para o mundo do conhecimento. 
Nesta busca, o professor tem que ter desenvolvido a habilidade 
de escolher diversas atividades que possam atingir os objetivos 
da aprendizagem, considerando as diferenças dos alunos e as 
especificidades de conteúdo, selecionando, portanto a estratégia 
mais