Aulas-Segunda-Semana-Julho-Sistemas_de_EDOs

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Estudos para a segunda semana-julho. 
Dia 1 e Dia 2. Teoria Básica de Sistemas de Equações Lineares de 
Primeira Ordem 
Aula Tira Dúvidas: Via Google Meet: O link de acesso e horário para sua 
turma está nas informações da disciplina. 
Acompanhar as aulas da semana com os seguintes vídeos: 
Dia 1 e Dia 2: 
https://www.youtube.com/watch?v=ii_mPw8bVyY&ab_channel=MateusBernardes 
Exercício para verificação de presença: Resolver os exercícios 16 
da seção 7.1 do livro texto. 
Dia 1 e Dia 2 (Capítulos 7.1 e 7.4). Teoria Básica de Sistemas de 
Equações Lineares de Primeira Ordem 
 
Um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem é 
um conjunto de equações que envolvem as variáveis dependentes, 
suas derivadas de primeira ordem, e a variável independente. 
Nesta disciplina, admitiremos que um sistema de equações diferenciais 
ordinárias de primeira ordem pode ser escrito como 
 
em que 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 são variáveis dependentes (funções) da variável 
independente 𝑡. Aqui, 𝑥𝑖
′ =
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡
 
 
Sistemas e Equações de Ordem Superior 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=ii_mPw8bVyY&ab_channel=MateusBernardes
 
Exemplo 1. Escreva a equação 𝑥(3) + 3𝑥′′ + 2𝑥′ − 5𝑥 = sen (2t) 
como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. 
Sol: 
 
Exemplo 2. . Escreva a equação 
 
como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. 
Sol: 
 
 
Notação Vetorial 
 
 
Problema de Valor Inicial 
 
Existência e Unicidade da Solução 
O seguinte teorema garante a existência e unicidade da solução de um 
problema de valor inicial envolvendo um sistema de equações diferenciais 
ordinárias de primeira ordem. 
 
Sistema Linear 
 
 
Existência e Unicidade da Solução de equações 
diferenciais ordinárias de primeira ordem linear. 
 
 
Sistema Linear Homogêneo 
 
 
 
 
Exemplo: Pode-se verificar que 
 
Satisfazem a equação 
 𝒙′ = (
𝟏 𝟏
𝟒 𝟏
) 𝒙 (1) 
 
De acordo ao Teorma 5 
 
Também satisfaz a Eq. (1). 
 
Wronskiano. Seja 𝑥(1), 𝑥(2), ⋯ 𝑥(𝑛) 𝑛 soluções de 
 𝑥′ = 𝑃(𝑡)𝑥 (𝑆) 
Considere a amatriz 𝑋(𝑡) cujas colunas são os vetores 
𝑥(1)(𝑡), 𝑥(2)(𝑡), ⋯ 𝑥(𝑛)(𝑡): 
𝑋(𝑡) = (
𝑥11(𝑡) ⋯ 𝑥1𝑛(𝑡)
⋮ ⋱ ⋮
𝑥𝑛1(𝑡) ⋯ 𝑥𝑛𝑛(𝑡)
). 
Dizemos que 𝑥(1), 𝑥(2), ⋯ 𝑥(𝑛) são soluções linearmente 
independente (LI) do sistema (S) no intervalo 𝐼 = (𝑎, 𝑏) se o 
determinante 
𝑾[𝒙(𝟏), ⋯ , 𝒙(𝒏)](𝒕) = 𝐝𝐞𝐭 (𝐗(𝐭)), 
chamado wronskiano, é não nulo para todo 𝑡 ∈ 𝐼 
 
 
Se não tiver risco de confusão com as soluções Se 𝒙(𝟏), ⋯ , 𝒙(𝒏) 
vamos escrever 𝑾(𝒕) no lugar Se 𝑾[𝒙(𝟏), ⋯ , 𝒙(𝒏)](𝒕). 
 
Teorama da Fórmula de Abel: Suponha que a matriz 𝑃(𝑡) é contínua no 
intervalo 𝐼 = (𝑎, 𝑏). Se 𝑥(1), ⋯ , 𝑥(𝑛) são soluções do sistema 𝑥′ = 𝑃(𝑡)𝑥 
no intervalo 𝐼. Então, 
𝑊(𝑡) = 𝑐exp (∫ (𝑝11(𝑠) + 𝑝22(𝑠) + ⋯ 𝑝𝑛𝑛(𝑠))
𝑡
𝑡0
ds) , a < t < b . 
 
Como consequência da fórmula de Abel temos os seguinte corolário 
Corolário: Se 𝑥(1), ⋯ , 𝑥(𝑛) são soluções do sistema 𝑥′ = 𝑃(𝑡)𝑥 no 
intervalo 𝐼 = (𝑎, 𝑏) , então 𝑊(𝑡) ou identicamente nulo ou nunca se 
anula nesse Intervalo. 
 
Solução Geral de um Sistema Linear Homogêneo 
 
 
Exemplos: Considere o seguinte sistema 
 𝒙′ = (
−𝟒 −𝟑
𝟔 𝟓
) 𝒙 (1) 
 
 e os vetores 
 𝑥(1)(𝑡) = [−𝑒
2𝑡
2𝑒2𝑡
] e 𝑥(1)(𝑡) = [−𝑒
−𝑡
𝑒−𝑡
] 
(i). Verificar que 𝑥(1)(𝑡) e 𝑥(2)(𝑡) são soluções de Eq. (1). 
(ii). Calcule 𝑾[𝑥(1), 𝑥(2)](𝒕). 
(iii). Verifique a fórmula de Abel, Eq. (1), para o 
Wronskiano de 𝑾[𝑥(1), 𝑥(2)](𝒕). 
(iv). Resolva o problema do valor inicial (PVI) 
 𝒙′ = (
−𝟒 −𝟑
𝟔 𝟓
) 𝒙 , 𝒙(𝟎) = [
4
−5
] (2) 
 
Sol: 
(i) 
(ii) Por definição temos 
 
(iii) Desde que 𝒑𝟏𝟏 + 𝒑𝟐𝟐 = 𝟏, então pela fórmula de Abel temos 
 
 
(iv) Desde que 𝑾(𝒕) ≠ 𝟎, então 𝑥(1)(𝑡) e 𝑥(2)(𝑡) são L.I. 
Portanto, a solução do sistema (1) é dado por 
 𝒙(𝒕) = 𝒄𝟏𝑥
(1)(𝑡) + 𝒄𝟐𝑥
(2)(𝑡) = [−𝑒
2𝑡
2𝑒2𝑡
 −𝑒
−𝑡
𝑒−𝑡
 ] [
𝑐1
𝑐2
] . 
Usando a condição inicial temos 
 
Assim, 
 
A solução do sistema é: 𝒄𝟏 = −𝟏, 𝒄𝟐 = −𝟑. Portanto, a solução 
do PVI (2) é: 
 
 
Exercícios. 
Seção 7.1 (p. 280--): 1-- 7, 15 e 16 . 
Seção 7.4 (p. 302--): 2, 4, 6, e 7.