Derivada - aplicacoes_da_derivada_-_parte1

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CENTRO 6
Cálculo I – Aplicações da Derivada – Parte 1
Profa. Rosandra Santos Mottola Lemos 
 
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APLICAÇÕES DA PRIMEIRA DERIVADA 
Determinando os Intervalos em que uma Função É Decrescente e Crescente 
 De acordo com estudo elaborado pelo Ministério de Minas e Energia e pela Petrobrás, 
a economia de combustível de um carro comum como uma função de sua velocidade é 
descrita pelo gráfico abaixo. Observe que a economia de combustível ���� em milhas por 
galão (���) melhora quando �, a velocidade do veículo em milhas por hora (���), aumenta 
de 0 a 40 e piora quando a velocidade aumenta além de 40 ���. Vamos usar os termos 
crescente e decrescente para descrever o comportamento de uma função quando nos 
movemos da esquerda para a direita ao longo de seu gráfico. 
 
Mais precisamente, temos as definições a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma função � é crescente em um intervalo �	, �� se para qualquer dois números �� e �
 
em �	, ��, ����� � ���
�	sempre que �� � �
. (figura 1) 
Uma função � é decrescente em um intervalo �	, �� se para qualquer dois números �� e 
�
 em �	, ��, ����� � ���
�	sempre que �� � �
. (figura 2) 
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 Dizemos que � é crescente em um ponto � se existe um intervalo �	, �� contendo � tal 
que � é crescente em �	, ��. De modo semelhante, dizemos que � é decrescente em um ponto 
� se existe um intervalo �	, �� contendo � tal que � é decrescente em �	, ��. 
Como a taxa de variação de uma função em um ponto � � � é dada pela derivada da função 
nesse ponto, a derivada se presta naturalmente para ser uma ferramenta na determinação dos 
intervalos em que uma função diferenciável é crescente ou decrescente. De fato, a derivada 
de uma função em um ponto mede não só a declividade da reta tangente ao gráfico da função 
nesse ponto, como também a taxa de variação da função no mesmo ponto. Na verdade, em 
um ponto em que a derivada é positiva, a declividade da reta tangente ao gráfico é positiva, e 
a função é crescente. Em um ponto em que a derivada é negativa, a declividade da reta 
tangente ao gráfico é negativa, e a função é decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 Essas observações nos conduzem ao importante teorema a seguir: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine o intervalo em que a função ���� � �
 é crescente e o intervalo em que 
é decrescente. 
 
 
 
 
 
a) Se ����� � 0 para cada valor de � em um intervalo �	, ��, então � é crescente em 
�	, ��. 
b) Se ����� � 0 para cada valor de � em um intervalo �	, ��, então � é decrescente 
em �	, ��. 
c) Se ����� � 0 para cada valor de � em um intervalo �	, ��, então � é constante em 
�	, ��. 
 
 
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Lembramos que o gráfico de uma função contínua não pode ter nenhuma interrupção. Em 
conseqüência, uma função contínua não pode mudar de sinal, a menos que seja igual a zero 
para algum valor de �. Essa observação sugere o procedimento a seguir para determinar o 
sinal da derivada �′ de uma função � e, portanto, os intervalos onde a função � é crescente ou 
decrescente. 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine os intervalos em que a função ���� � �� � 3�
 � 24� � 32 é crescente 
e em que é decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Determine todos os valores de � para os quais ����� � 0 ou �′ é descontínua e 
identifique os intervalos abertos determinados por estes pontos. 
2. Escolha um ponto teste � em cada intervalo encontrado no passo 1 e determine o 
sinal de ����� nesse intervalo. 
a. Se ����� � 0, � é crescente nesse intervalo. 
b. Se ����� � 0, � é decrescente nesse intervalo. 
 
 
 
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Exemplo: Determine o intervalo onde a função ���� � �
�� é crescente e o intervalo onde é 
decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine os intervalos em que a função ���� � � �
�
�
 é crescente e em que é 
decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXTREMOS RELATIVOS 
 Além de nos auxiliar a determinar onde o gráfico de uma função é crescente e 
decrescente, a primeira derivada pode ser usada para nos ajudar a localizar certos “pontos 
mais altos” e “pontos mais baixos” no gráfico de �. Conhecer esses pontos é imprescindível 
para esboçar gráficos de funções e resolver problemas de otimização. Esses “pontos mais 
altos” e “pontos mais baixos” correspondem aos máximos relativos (locais) e mínimos relativos 
de uma função. Eles são assim denominados por serem os pontos mais altos e mais baixos de 
suas vizinhanças. De uma maneira geral, temos as seguintes definições: 
 
 
 
 
ENCONTRANDO OS EXTREMOS RELATIVOS 
 Referimo-nos ao máximo relativo e ao mínimo relativo de uma função como os 
extremos relativos dessa função. Como primeiro passo na nossa busca para encontrar os 
extremos relativos de uma função, consideramos funções que têm derivadas nesses pontos. 
Suponha que � é uma função que é diferenciável em um intervalo �	, �� que contém um 
ponto � � � e que � tem um máximo relativo em � � �. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando um argumento similar, pode-se mostrar que a derivada �′ de uma função diferenciável 
� deve ser igual a zero em um ponto � � �, onde � tem um mínimo relativo. 
 
 
� Uma função � tem um máximo relativo em � � � se existe um intervalo aberto 
�	, �� contendo � tal que ���� � ���� para todo � em �	, ��. 
� Uma função � tem um mínimo relativo em � � � se existe um intervalo aberto 
�	, �� contendo � tal que ���� ���� para todo � em �	, ��. 
 
Observe que a inclinação da reta 
tangente ao gráfico de � deve mudar 
de positiva para negativa quando nos 
movemos da esquerda para direita 
do ponto � � �. Logo, a reta 
tangente ao gráfico de � no ponto 
��, ����� deve ser horizontal, isto é, 
����� � 0. 
 
 
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 Antes de desenvolver um procedimento para encontrar esses pontos, algumas 
precauções são necessárias. Primeiro esse resultado nos diz que, se uma função diferenciável 
� tem um extremo relativo em um ponto � � �, então ����� � 0. O oposto dessa afirmação, 
isto é, se ����� � 0, então � deve ter um extremo relativo nesse ponto, não é verdadeiro! 
Considere, por exemplo, a função ���� � ��. Nesse caso, ����� � 3�
, então ���0� � 0. 
Mesmo assim, � não tem um máximo ou mínimo relativo em � � 0. 
Segundo, nosso resultado assume que a função é diferenciável; logo, possui derivada em um 
possível ponto de extremo relativo. Entretanto, a função ���� � �
�� demonstra que o 
extremo relativo de uma função pode existir em um ponto no qual a derivada não existe. Esta 
função não é diferenciável em � � 0, mas possui um extremo relativo nesse ponto. 
De qualquer maneira, referimo-nos a um ponto no domínio de � que possa ser um extremo 
relativo como um ponto crítico. 
 
 
 
 Tendo definido o que um ponto crítico, podemos agora apresentar um procedimento 
formal para encontrar os extremos relativos de uma função contínua diferenciável em todos os 
pontos, exceto em alguns valores isoladosde �. Incorporado a esse procedimento está o 
chamado teste da primeira derivada, que nos ajuda a determinar se um ponto dá origem a 
um máximo ou mínimo relativo da função �. 
 
 
 
 
Essa análise revela uma 
característica importante dos 
extremos relativos de uma função 
diferenciável �: em qualquer ponto � 
onde � tem um extremo relativo, 
����� � 0. 
Um ponto crítico de uma função � é qualquer ponto � no domínio de � tal que ����� � 0 
ou ����� não existe. 
 
 
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PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO 
CONTÍNUA (TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade 
vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os 
resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é 
dada aproximadamente por v(t) = t
3
 – 10,5 t
2
 +30 t + 20 km/h, onde t é o número de 
horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais 
rápido? E qual o instante em que ele é mais lento? 
 
 
1. Determine os pontos críticos de �. 
2. Determine o sinal de ����� à esquerda e à direita de cada ponto crítico. 
a) Se ����� muda o sinal de positivo para negativo quando nos movemos pelo 
ponto crítico � � �, então ���� é um máximo relativo. 
b) Se ����� muda o sinal de negativo para positivo quando nos movemos pelo 
ponto crítico � � �, então ���� é um mínimo relativo. 
c) Se ����� não muda de sinal quando nos movemos pelo ponto crítico � � �, 
então ���� não é um extremo relativo.