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Universidade de São Paulo
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz"
Apostila de Cálculo
Roseli Aparecida Leandro
Cristian Villegas
Everton Batista da Rocha
Piracicaba
Estado de São Paulo
2012
Conteúdo
1 Revisão de conceitos básicos 1
1.1 Um pouco sobre notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Alguns subconjuntos especiais dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4.1 O binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.2 O triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Funções 5
2.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Monotonicidade e Paridade de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Álgebra de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Classificação de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7 Inversão de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.8 Funções Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.8.1 Função Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.8.2 Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.8.3 Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.8.4 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.8.5 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.8.6 Função
L
ogar
Í
t
m
i
ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8.7 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8.8 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Limite e continuidade 15
3.1 Definição de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Propriedades dos Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Assíntotas Verticais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6 Teoremas Adicionais sobre Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.7 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7.1 Continuidade em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7.2 Continuidade em um Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
i
ii
4 Derivada 21
4.1 A Derivada de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1 Teoremas Básicos sobre Diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.2 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.3 Derivada de Funções Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.4 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.5 A Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Aplicações de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.1 Funções Crescentes e Decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.2 Extremos de Funções - Extremos Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.3 Extremos de Funções - Extremos Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.4 Condições Suficientes para Extremos Relativos e Funções Contínuas . . . 25
4.2.5 Concavidade e a segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.6 Extremos relativos e a segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.7 Regras de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Estudo Completo de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Fórmulas de Taylor e Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Integração 29
5.1 A Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.1 Regra da Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.1.2 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 A Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Teorema Fundamental do Cálculo (Newton-Leibniz) . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Funções Beta e Gama 33
6.1 Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.1.1 Fórmula de Recorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2.1 Função Gama para 0 < n < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2.2 Função Gama para n < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3 Função Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3.1 Definições Recorrentes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Lista de Figuras
2.1 Representação de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Gráfico da função f(x) =
√
x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Gráfico de restrições da função f(x) = x2 + 5x− 7 com a respectiva inversa . . 8
2.4 Gráfico da função f(x) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Gráfico da função f(x) = x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Gráfico da função f(x) = x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7 Gráfico da função f(x) = x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8 Gráfico da função f(x) = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.9 Gráfico da função f(x) = loga(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.10 XXX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.11 Gráfico da função sin(x), cos(x) e tan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
iii
1
Revisão de conceitos básicos
Neste primeiro capítulo será feita uma pequena revisão de conceitos básicos necessários para
o prosseguimento da disciplina.
1.1 Um pouco sobre notação
Simbologia Significado
∧ e
∨ ou
| tal que
∃ existe
@ não existe
∀ qualquer que seja
∅ conjunto vazio
∈ pertence
6∈ não pertence
⊃ contém
6⊃ não contém
⊂ está contido
6⊂ não está contido
1.2 Conjuntos numéricos
N Conjunto dos números naturais
Z Conjunto dos números inteiros
Q Conjunto dos números racionais
I Conjunto dos números irracionais
R Conjunto dos números reais
em que
1. N = {0, 1, 2, 3, ...}.
2. Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}.
2
3. Q = {a
b
|a, b ∈ Z, b 6= 0} .
4. R = (−∞,+∞).
1.3 Alguns subconjuntos especiais dos números reais
R∗ = {x ∈ R | x 6= 0}
R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}
R− = {x ∈ R | x ≤ 0}
R∗+ = {x ∈ R |x > 0}
R∗
−
= {x ∈ R | x < 0}
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
1.4 Fatoração
Definição 1.4.1. Fatorar é transformar uma soma de duas ou mais parcelas num produto de
dois ou mais fatores.
1o caso: Fator comum
ax+ bx = x(a+ b)
2o caso: Agrupamento
ax+ bx+ ay + by = x(a+ b) + y(a+ b) = (a+ b)(x+ y)
3o caso: Diferença de quadrados
a2 − b2 = (a+ b)(a− b)
4o caso: Quadrado perfeito
a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)(a+ b) = (a+ b)2
a2 − 2ab+ b2 = (a− b)(a− b) = (a− b)2
5o caso: Soma e diferença de cubos
a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2)
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)
6o caso: Cubo perfeito
a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b) = (a+ b)3
a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 = (a− b)(a− b)(a− b) = (a− b)3
3
7o caso: Trinômio do 2o grau
ax2 + bx+ c = a(x− r1)(x− r2)
em que r1 e r2 são as raízes da equação ax2 + bx+ c = 0.
8o caso: Um artifício
a4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1− a2 =
(a2 + 1)2 − a2 = (a2 + 1 + a)(a2 + 1− a)
1.4.1 O binômio de Newton
O desenvolvimento do binômio (1+x)n está entre os primeiros problemas estudados e ligados
À
Análise Combinatória. O caso n = 2 já pode ser encontrado nos “Elementos de Euclides”,
em torno de 300 a.C. O “Triângulo de Pascal” era conhecido por “Chu Shih-Chieh”, na China,
por volta do ano 1300, e antes disso pelos hindus e árabes. O nome coeficiente binomial
foi introduzido mais tarde por Michael Stifel (1486?-1567), que mostrou, em torno de 1550,
como calcular (1 + x)n a partir do desenvolvimento de (1 + x)n−1. Sabemos também que
o matemático árabe Al-Karaji,fins do século X, conhecia a lei de formação dos elementos do
triângulo de Pascal. Portanto, você pode observar que nem Isaac Newton nem Blaise Pascal
apareceram na história até o momento. De fato, o binômio de Newton não foi objeto de estudo
de Newton.
A fórmula do binômio de Newton é a fórmula que dá o desenvolvimento de (x + y)n.
Desenvolvendo o binômio (x+ y)n, n ∈ N, encontramos:
(x+ y)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
xn−kyk
em que (
n
k
)
=
n!
k!(n− k)! ,
é chamado coeficiente binomial. Observe que n! = n× (n− 1)× . . .× 3× 2× 1 e 0! = 1. Toda
potência da forma (x + y)n , com x, y ∈ R e n ∈ N, é conhecido como binômio de Newton.
O desenvolvimento do binômio de Newton é simples em casos como os seguintes, que você já
estudou no ensino fundamental. Você aprendeu que:
(x+ y)0 = 1 1 termo
(x+ y)1 = 1x+ 1y 2 termos
(x+ y)2 = 1x+ 2xy + 1y 3 termos
(x+ y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 4 termos
Um dos processos para determinar (x+ y)4 é efetuar o produto (x+ y)3 e (x+ y) que você
já conhece e sabe que dá muita “mão de obra”. E se continuar aumentando o expoente do
binômio. Como fica? Em casos como (x + y)7, (2x − y)5 , (x + 2)10, (x − y)n e tantos outros,
vamos recorrer à análise combinatória.
4
1.4.2 O triângulo de Pascal
O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do
triângulo de Pascal: O triângulo de Pascal.(
n− 1
k − 1
)
+
(
n− 1
k
)
=
(
n
k
)
Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os
descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no
século XIII. O matemático persa Omar Khayyám, pode ter sido o primeiro a descobrir.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
· · · · · ·(
n
0
) (
n
1
)
. . .
(
n
n−1
) (
n
n
)
Capítulo 2
Funções
2.1 Conceitos Básicos
Definição 2.1.1. Seja A e B dois conjuntos, A 6= ∅, B 6= ∅. Uma função definida em A com
valores em B é uma lei que associa a todo elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B. Notação:
y = f(x).
Esquematicamente:
f : A→ B
x 7→ y = f(x)
Figura 2.1: Representação de uma função
Definição 2.1.2. O conjunto A é chamado domínio da função f , o conjunto B contra-domínio
de f e o conjunto I = {y ∈ B|y = f(x), x ∈ A} imagem da função f , também denotado por
f(A). Observe que I ⊂ B. Neste material o conjunto B será o conjunto dos números reais.
Observação 2.1.1. Quando não se especificar o domínio de uma dada função, subentende-se
que ele seja o conjunto de todos os reais para os quais seja possível definir a função. Assim, o
domínio da função f(x) = 1
x−2 é D = {x ∈ R|x 6= 2}, salvo menção contrária.
2.2 Gráfico de uma Função
Definição 2.2.1. Seja f : A → B. O gráfico de f é o conjunto G(f) = {(x, y) ∈ A × B|y =
f(x)}, em que A×B = {(x, y)|x ∈ A e y ∈ B}.
Observação 2.2.1. Como, por definição, a todo x do domínio da função corresponde um único
valor de y, nenhuma reta vertical pode interceptar o gráfico da função em mais de um ponto.
6
Figura 2.2: Gráfico da função f(x) =
√
x− 1
Exemplo 2.2.1. Seja f(x) =
√
x− 1. O domínio de f são todos os reais maiores ou iguais a
1, ou seja, D = {x ∈ R|x ≥ 1}. A imagem de f é I = {y ∈ R|y ≥ 0}. Um esboço do gráfico de
f é dado por:
2.3 Monotonicidade e Paridade de Funções
Definição 2.3.1. A função f : A→ R é dita
1. estritamente crescente se x < y ⇒ f(x) < f(y) ∀ x, y ∈ A.
2. estritamente decrescente se x < y ⇒ f(x) > f(y) ∀ x, y ∈ A.
3. crescente se x < y ⇒ f(x) ≤ f(y) ∀ x, y ∈ A.
4. decrescente se x < y ⇒ f(x) ≥ f(y) ∀ x, y ∈ A.
Se uma função f é crescente ou decrescente em A, diz-se que ela é monótona em A.
Definição 2.3.2. Diz-se que f : A→ R é uma função par se as seguintes condições estiverem
satisfeitas:
1. Para qualquer x ∈ A, tem-se sempre que −x ∈ A.
2. f(−x) = f(x), ∀ x ∈ A.
Observação 2.3.1. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
Definição 2.3.3. Diz-se que f : A → R é uma função ímpar se as seguintes condições estive-
rem satisfeitas:
1. Para qualquer x ∈ A, tem-se sempre que −x ∈ A.
2. f(−x) = −f(x), ∀ x ∈ A.
Observação 2.3.2. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema
cartesiano.
2.4 Composição de funções
Definição 2.4.1. Sejam f : A → B e g : B → C. A função composta de g com f , indicada
g ◦ f , é uma função h : A→ C dada por h(x) = g(f(x)), ∀ x ∈ A.
Observação 2.4.1. Para a existência da função composta não é essencial que o domínio de g
seja todo B, e sim apenas que contenha a imagem de f . Assim, o domínio de g◦f é o conjunto
de todos os elementos de x do domínio de f tais que f(x) esteja no domínio de g.
7
2.5 Álgebra de Funções
Definição 2.5.1. Sejam f e g duas funções, D a intersecção não vazia de seus domínios, e λ
um número real. Então:
1. a soma de f e g, indicada por (f + g), é a função definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x),
∀x ∈ D.
2. a diferença de f e g, indicada por (f−g), é a função definida por (f−g)(x) = f(x)−g(x),
∀x ∈ D.
3. o produto de f por g, indicado por (f×g), é a função definida por (f×g)(x) = f(x)×g(x),
∀x ∈ D.
4. o quociente de f por g, indicado por
(
f
g
)
, é a função definida por
(
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
,
∀x ∈ D.
5. o produto de λ por f , indicado por (λf), é a função definida por (λf)(x) = λf(x), ∀ ∈ D.
2.6 Classificação de Funções
Definição 2.6.1. Seja f : A→ B. Diz-se que uma função f é injetora se:
x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y) x, y ∈ A.
Consequência 2.6.1. Como consequência da definição pode-se dizer que uma função é
injetora se:
f(x) = f(y)⇒ x = y x, y ∈ A.
Diz-se neste caso que se estabelece uma correspondência um a um entre o domínio e a imagem
de f .
Definição 2.6.2. Seja f : A → B. Diz-se que uma função f é sobrejetora se f(A) = B, ou
seja, para cada y ∈ B, existe pelo menos um x ∈ A tal que, y = f(x).
Definição 2.6.3. Seja f : A → B. Diz-se que uma função f é bijetora se for injetora e
sobrejetora, isto é, se para cada y ∈ B existir um único ponto x ∈ A tal que y = f(x). Diz-se
que estabelece-se uma correspondência um a um entre o domínio e o contradomínio de f .
2.7 Inversão de Funções
Definição 2.7.1. Diz-se que f : A → B é inversível se existir g : B → A, tal que g ◦ f = IA,isto é, (g ◦ f)(x) = x ∀x ∈ A e f ◦ g = IB, isto é, (f ◦ g)(x) = x ∀x ∈ B. A função g é
chamada função inversa de f e é indicada por f−1.
Observação 2.7.1. Observar que
1. Uma função f : A→ B é inversível se, e somente se, f é bijetora.
2. Se f : A → B é uma função bijetora, então o domínio e o contra-domínio de f são,
respectivamente, o contra-domínio e o domínio de f−1.
3. Os gráficos de f e f−1 são curvas simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpa-
res, ou seja, em relação a reta y = x.
8
Exemplo 2.7.1. Considere a função f , definida por f(x) = x2 + 5x − 7 considerando-se que
o domínio de f é R e que o contra-domínio de f é R, tem-se que f é não-inversível. Porém,
considerando-se, restrições do domínio pode-se tornar a função injetora, e considerando-se
restrições do contra-domínio pode-se torná-la sobrejetora. Veja, algumas possíveis restrições
para o domínio e contra-domínio:
Restrições de domínio e Contra-domínio
Domínio Contra-Domínio
(−∞, xv) (yv,∞)
(−∞, xv] [yv,∞)
[xv,∞) [yv,∞)
(xv,∞) (yv,∞)
A Figura 2.3 apresenta o gráfico de restrições da função f(x) = x2 + 5x − 7 com sua
respectiva inversa e a reta bissetriz do 1o e 3o quadrantes. Observe o gráfico da restrição com
a respectiva inversa exibidos com a mesma cor. No Capítulo ??? você poderá visualizar os
comandos MAPLE utilizados para a exibição do gráfico apresentado na Figura 2.3.
Figura 2.3: Gráfico de restrições da função f(x) = x2 + 5x− 7 com a respectiva inversa
2.8 Funções Básicas
Por convenção o contra-domínio de todas as funções é R.
2.8.1 Função Constante
São funções definidas por f(x) = b com b ∈ R. Seu domínio é R é I={c}.
2.8.2 Função Afim
São funções definidas por f(x) = ax + b com a, b ∈ R, a 6= 0. Seu domínio é R e imagem,
I = R.
Observação 2.8.1. Observar que:
1. A função afim tem como gráfico uma reta.
9
Figura 2.4: Gráfico da função f(x) = 1
2. O gráfico intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, b) e o eixo das abscissas no ponto(−b
a
, 0
)
.
3. Pode-se mostrar que a tangente do ângulo α formando entre a reta e o eixo é igual à
constante a.
4. Se b = 0 a função é denonimada função linear.
Figura 2.5: Gráfico da função f(x) = x− 1
2.8.3 Função Quadrática
É toda função da forma f(x) = ax2 + bx+ c, a, b, c ∈ R, a 6= 0.
Observação 2.8.2. Observar que:
1. Seu gráfico é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.
2. A parábola que representa a função f(x) = ax2 + bx + c tem concavidade para cima
quando a > 0, e a concavidade para baixo quando a < 0.
3. O vértice da parábola tem coordenadas V
(
− b
2a
,−∆
4a
)
, em que ∆ = b2 − 4ac
10
4. As abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x, se existirem, são dadas
por:
x =
−b±√∆
2a
, em que ∆ = b2 − 4ac.
Posições características da parábola no plano cartesiano são dadas por:
1. a > 0 e ∆ > 0
2. a > 0 e ∆ = 0
3. a > 0 e ∆ < 0
4. a < 0 e ∆ > 0
5. a < 0 e ∆ = 0
6. a < 0 e ∆ < 0
Figura 2.6: Gráfico da função f(x) = x− 1
2.8.4 Função Modular
É a função f(x) = |x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
2.8.5 Função Exponencial
É toda função do tipo f(x) = ax (a > 0, a 6= 1).
Observação 2.8.3. Observar que:
1. O gráfico de uma função exponencial é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
11
Figura 2.7: Gráfico da função f(x) = x− 1
2. Para resolver as funções exponenciais vale-se da relação:
ax = ay ⇒ x = y
3. Pela primeira observação da função exponencial, tem-se as seguintes relações que auxi-
liam na resolução de inequações exponenciais:
Se a > 1 , ax < ay ⇔ x < y
Se 0 < a < 1 , ax < ay ⇔ x > y
Figura 2.8: Gráfico da função f(x) = ax
2.8.6 Função Logarítmica
A função logarítmica, definida em R∗+, é dada por: f(x) = loga x, a > 0 e a 6= 1, se e só se,
af(x) = x.
Observação 2.8.4. Observar que:
1. A função logarítmica é a inversa da função exponencial.
12
2. As propriedades da função logarítmica, sendo a > 0, b > 0 e b 6= 1, c > 0 e α ∈ R, são:
(a) logb(ac) = logb a+ logb c
(b) logb
(a
c
)
= logb a− logb c
(c) logb(a
α) = α logb a
(d) logb a =
loge a
loge b
3. O gráfico é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
4. Para a resolução de equações logarítmicas, usa-se a relação seguinte:
(a) Se f(x) > 0, g(x) > 0, a > 0 e a 6= 1, então loga f(x) = loga g(x)⇔ f(x) = g(x)
Figura 2.9: Gráfico da função f(x) = loga(x)
Observação 2.8.5. Observar que:
1. Para a resolução de inequações logarítmicas, usa-se as relações seguintes:
(a) Se a > 1, f(x) > 0 e g(x) > 0, então loga f(x) > loga g(x)⇔ f(x) > g(x)
(b) Se 0 < a < 1, f(x) > 0 e g(x) > 0, então loga f(x) > loga g(x)⇔ f(x) < g(x)
2.8.7 Funções Trigonométricas
Definição 2.8.1. Denomina-se de circunferência trigonométrica a circunferência de centro na
origem do plano cartesiano, de raio unitário e cujos arcos tem origem no ponto A(1, 0), com
sentido anti-horário positivo.
Definição 2.8.2. Considere na circunferência trigonométrica um arco de medida x, com ori-
gem em A e extremidade em P . Então, por definição:
1. seno de x é a ordenada do ponto P
2. cosseno de x é a abscissa do ponto P
3. tangente de x é a ordenada do ponto T , interesecção da reta OP com o eixo tangente à
circunferência pelo ponto A.
Definição 2.8.3. Define-se as principais funções trigonométricas da seguinte forma:
1. Função seno: f : R→ R, f(x) = senx
2. Função cosseno: f : R→ R, f(x) = cosx
13
Figura 2.10: XXX
3. Função tangente: f : R−
{pi
2
+ hpi, h ∈ Z
}
→ R, f(x) = tg x
As outras funções trigonométricas são definidas pelas relações
cotg x =
cosx
senx
=
1
tg x
, secx =
1
cosx
, cosecx =
1
senx
Observação 2.8.6. Observar que:
1. Da definição, conclui-se que a imagem das funções seno e cosseno é o intervalo [−1, 1] e
a imagem da função tangente é R.
2. A função cosseno (e, portanto, secante) é par, enquanto as funções seno (⇒ cossecante)
e tangente (⇒ cotangente) são ímpares.
3. As funções seno, cosseno, tangente são periódicas, de período 2pi, 2pi e pi respectiva-
mente.
4. As principais relações trigonométricas:
(a) sen 2x+ cos2 x = 1
(b) 1 + tg 2x = sec2 x
(c) 1 + cot2 x = cosec 2x
(d) sen (x± y) = senx cos y ± sin y cosx
(e) cos(x± y) = cosx cos y ± senxsen y
(f) tg (x± y) = tg x± tg y
1∓ tg xtg y
(g) sen 2x = 2senx cosx
(h) cos 2x = cos2 x− sen 2x
(i) tg 2x =
2tg x
1− tg 2x
(j) sen p± sen q = 2sen
(
p± q
2
)
cos
(
p∓ q
2
)
(k) cos p± cos q = 2 cos
(
p+ q
2
)
cos
(
p− q
2
)
(l) cos p− cos q = −2sen
(
p+ q
2
)
cos
(
p− q
2
)
14
Figura 2.11: Gráfico da função sin(x), cos(x) e tan(x)
2.8.8 Funções Trigonométricas Inversas
Seja a função f : R → R, definida por f(x) = senx. A fim de definir sua função inversa é
necessário fazer a seguinte restrição, com o intuito de torná-la bijetora:
f :
[
−pi
2
,
pi
2
]
→ [−1, 1]
f(x) = senx
Assim, pode-se definir a função inversa.
f−1 : [−1, 1]→
[
−pi
2
,
pi
2
]
y = arcsenx (⇔ sin y = x)
Trabalhando da mesma forma com as outras funções trigonométricas, tem-se:
1. Função Arcoseno: f : [−1, 1]→
[
−pi
2
,
pi
2
]
, f(x) = arcsenx
2. Função Arco-cosseno: f : [−1, 1]→ [0, pi], f(x) = arccosx
3. Função Arco-tangente: f : R→
(
−pi
2
,
pi
2
)
, f(x) = arctg x
Capítulo 3
Limite e continuidade
3.1 Definição de Limite
Definição 3.1.1. Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo a (exceto possi-
velmente no próprio a) e seja L um número real. Então,
lim
x→a
f(x) = L
se para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que |f(x)− L| < ε sempre que 0 < |x− a| < δ.
Em outras palavras, a definição acima diz que f(x) pode tornar-se tão próximo de L quanto
se deseja, escolhendo-se x suficientemente próximo de a, mas não igual a a.
Teorema 3.1.1.(de unicidade) Se lim
x→a
= L1 e lim
x→a
= L2, então L1 = L2.
3.1.1 Propriedades dos Limites de Funções
Propriedade 3.1.1. Se m e b são constantes quaisquer, então: (Se m e b são constantes
quaisquer, então:)
lim
x→a
(mx+ b) = ma+ b
Consequência 3.1.1. Se c é uma constante, então,
lim
x→a
c = c
Consequência 3.1.2.
lim
x→a
x = a
Propriedade 3.1.2. Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M , então
lim
x→a
[f(x)± g(x)] = lim
x→a
f(x)± lim
x→a
g(x) = L±M.
Consequência 3.1.3. Se lim
x→a
f1(x) = L1, lim
x→a
f2(x) = L2, · · · , lim
x→a
fn(x) = Ln, então,
lim
x→a
[f1(x)± f2(x)± · · · fn(x)] = L1 ± L2 ± · · ·Ln
Propriedade 3.1.3. Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M , então
lim
x→a
[f(x)× g(x)] = lim
x→a
f(x)× lim
x→a
g(x) = L×M
16
Consequência 3.1.4. Se lim
x→a
f1(x) = L1, lim
x→a
f2(x) = L2, · · · , lim
x→a
fn(x) = Ln, então,
lim
x→a
[f1(x)× f2(x)× · · · fn(x)] = L1 × L2 × · · ·Ln
Consequência 3.1.5. Se lim
x→a
f(x) = L e n for inteiro positivo qualquer, então
lim
x→a
[f(x)]n =
[
lim
x→a
f(x)
]n
= Ln
Propriedade 3.1.4. Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M e M 6= 0, então
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
=
L
M
Propriedade 3.1.5. Se lim
x→a
f(x)n = L, então,
lim
x→a
f(x)n =
[
lim
x→a
f(x)
]n
= Ln
Se L ≥ 0 e n for um inteiro qualquer positivo, ou se L ≤ 0 e n for um inteiro positivo ímpar
qualquer.
Propriedade 3.1.6. Se g é uma função tal que g(x) = f(x) é válido para todos os valores de
x pertencentes a algum intervalo ao redor de a, exceto x = a, então lim
x→a
g(x) = lim
x→a
f(x), se os
limites existirem.
3.2 Limites Laterais
Definição 3.2.1. Seja f definida em um intervalo (a, c). Então, o limite de f(x) quando x
tende à a pela direita será L, escrito lim
x→a+
f(x) = L, se para qualquer ε > 0, existe um δ > 0
tal que, |f(x)− L| < ε sempre que 0 < x− a < δ.
Definição 3.2.2. Seja f definida em um intervalo (d, a). Então, o limite de f(x) quando x
tende à a pela esquerda será L, escrito lim
x→a−
f(x) = L, se para qualquer ε > 0, existe um δ > 0
tal que, |f(x)− L| < ε sempre que 0 < x− a < δ.
Teorema 3.2.1. lim
x→a
f(x) é igual a L se e somente se lim
x→a+
f(x) e lim
x→a−
f(x) existirem e ambos
forem iguais a L
3.3 Limites no Infinito
A seguir uma definição de limites no infinito
Definição 3.3.1. Suponha que a função f esteja definida em um intervalo (a,+∞). Diz-se
que lim
x→+∞
f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um número positivo N tal que |f(x) − L)| < ε
sempre que x > N .
Definição 3.3.2. Suponha que a função f esteja definida em um intervalo (−∞, a). Diz-se
que lim
x→−∞
f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um número negativo N tal que |f(x)− L)| < ε
sempre que x < N .
Teorema 3.3.1. Se r é um inteiro positivo qualquer, então,
lim
x→+∞
1
xr
= 0 e lim
x→−∞
1
xr
= 0.
17
Observação 3.3.1. As propriedades de limite de funções permanecem inalteradas quando
x→ a é substituído por “x→ +∞"ou “x→ −∞".
3.4 Limites Infinitos
Definição 3.4.1. Seja f definida num intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no
próprio a. Diz-se que lim
x→a
f(x) = +∞, se para qualquer N > 0 existir um δ > 0 tal que
f(x) > N sempre que 0 < |x− a| < δ.
Definição 3.4.2. Seja f definida num intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no
próprio a. Diz-se que lim
x→a
f(x) = −∞, se para qualquer N < 0 existir um δ > 0 tal que
f(x) < N sempre que 0 < |x−a| < δ. Observação análoga pode ser feita para lim
x→a
f(x) = −∞.
Desta forma, tem-se:
Observação 3.4.1. Podemos observar que
1. Definições semelhantes podem ser feitas ao se trocar, “x→ a" por “x→ a+"ou “x→ a−".
Observação 3.4.2. Podemos observar que
1. Limites infinitos no infinito podem ser considerados. Existem definições formais para
cada um dos seguintes limites:
lim
x→+∞
f(x) = +∞
lim
x→+∞
f(x) = −∞
lim
x→+∞
f(x) = −∞
lim
x→−∞
f(x) = −∞
3.4.1 Propriedades
Propriedade 3.4.1. Se lim
x→a
f(x) = ±∞ e lim
x→a
g(x) = c, c constante qualquer, então,
1. lim
x→a
[f(x) + g(x)] = ±∞
2. Se c > 0, então lim
x→a
[f(x)× g(x)] = ±∞
3. Se c < 0, então lim
x→a
[f(x) + g(x)] = ∓∞
4. lim
x→a
g(x)
f(x)
= 0
Propriedade 3.4.2. Se lim
x→a
f(x) = 0 e lim
x→a
g(x) = c, c constante não nula, então,
1. Se c > 0 e se f(x)→ 0 através de valores positivos de f(x), então lim
x→a
g(x)
f(x)
= +∞
2. Se c > 0 e se f(x)→ 0 através de valores negativos de f(x), então lim
x→a
g(x)
f(x)
= −∞
3. Se c < 0 e se f(x)→ 0 através de valores positivos de f(x), então lim
x→a
g(x)
f(x)
= −∞
4. Se c < 0 e se f(x)→ 0 através de valores negativos de f(x), então lim
x→a
g(x)
f(x)
= +∞
Observação 3.4.3. As propriedades (3.4.1) e (3.4.2) anteriores continuam válidas se “x →
a"for substituído por “x→ a+", “x→ a−", “x→ +∞"ou “x→ −∞".
18
3.5 Assíntotas Verticais e Horizontais
Definição 3.5.1. Diz-se que a reta vertical x = a é uma assíntota vertical do gráfico da função
f se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:
1. lim
x→a+
f(x) = +∞
2. lim
x→a+
f(x) = −∞
3. lim
x→a−
f(x) = +∞
4. lim
x→a−
f(x) = −∞
Definição 3.5.2. Diz-se que a reta vertical y = b é uma assíntota horizontal do gráfico da
função f se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:
1. lim
x→+∞
f(x) = b
2. lim
x→−∞
f(x) = b
3.6 Teoremas Adicionais sobre Limites de Funções
Teorema 3.6.1. (Teorema da Conservação do Sinal)
Se lim
x→a
f(x) existe e se lim
x→a
f(x) = b 6= 0, então existe um intervalo aberto contínuo contendo a
tal que f(x) tem o mesmo sinal de b para todo x 6= a deste intervalo.
Teorema 3.6.2. (Teorema da Comparação)
Suponha que f e g estejam definidas em um intervalo aberto I contendo a, exceto possivel-
mente em a. Suponha, também, que f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ I, x 6= a. Então, se existirem lim
x→a
f(x)
e lim
x→a
g(x), então lim
x→a
f(x) ≤ lim
x→a
g(x).
Observação 3.6.1. Podemos observar que
1. Se lim f(x) = +∞ e f(x) ≤ g(x), então lim g(x) = +∞ (vale para x → a, x → +∞ e
x→ −∞).
2. Se lim g(x) = −∞ e f(x) ≤ g(x), então lim f(x) = −∞ (vale para x → a, x → +∞ e
x→ −∞).
Teorema 3.6.3. (Teorema do Confronto ou do “Sanduíche")
Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente
em a, e se lim
x→a
f(x) = lim
x→a
h(x) = L, então lim
x→a
g(x) = L.
Observação 3.6.2. O teorema anterior continua válido se “x → a" for substituído por “x →
+∞" ou “x→ −∞".
Teorema 3.6.4. (1o Limite Fundamental)
lim
x→0
senx
x
= 1
19
Teorema 3.6.5. (2o Limite Fundamental)
lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x
= e
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e
em que e = 2, 71828 · · · (irracional).
3.7 Continuidade
3.7.1 Continuidade em um ponto
Definição 3.7.1. Diz-se que f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as três condições
seguintes:
1. existe f(a)
2. existe lim
x→a
f(x)
3. lim
x→a
f(x) = f(a)
Observação 3.7.1. Podemos observar que
1. Se uma ou mais destas três condições não for verificada em a, diz-se que a função f é
descontínua em a.
2. Como a noção de continuidade envolve o fato de que lim
x→a
f(x) = f(a), tem-se então o
seguinte teorema:
Teorema 3.7.1. Diz-se que f é contínua em um ponto a se f for definida em um intervalo
aberto contendo a e se para qualquer ε > 0 existe um � > 0 tal que |f(x) − f(a)| < ε sempre
que |x− a| < δ.
Propriedade 3.7.1. Se f e g são duas funções contínuas em a, então:
1. f + g é contínua em a
2. f − g é contínua em a
3. f × g é contínua em a
4.
f
g
é contínua em a, desde que g(a) 6= 0
Propriedade 3.7.2. Uma função polinomial é contínua em todoa ∈ R.
Propriedade 3.7.3. Uma função racional (quociente de duas funções polinomiais) é contínua
em todo ponto do seu domínio.
Propriedade 3.7.4. As funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas são contínuas em
todos os pontos dos seus domínios.
Propriedade 3.7.5. Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f ◦ g é contínua em a.
20
3.7.2 Continuidade em um Intervalo
Definição 3.7.2. Diz-se que uma função f é contínua em um intervalo aberto se f é contínua
em todos os pontos deste intervalo.
Definição 3.7.3. Uma função f é contínua em um intervalo fechado [a, b] se f é contínua no
intervalo aberto (a, b) e f satisfaz
lim
x→a+
f(x) = f(a) e lim
x→b−
f(x) = f(b).
Capítulo 4
Derivada
4.1 A Derivada de uma Função
Definição 4.1.1. A derivada de uma função f , indicada f
′
é uma função definida por:
f
′
(x) = lim
∆x→0
=
f(x+∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
∆y
∆x
,
se esse limite existir e for finito.
Observação 4.1.1. Se f é definida por y = f(x), sua derivada pode ser indicada por,
f
′
(x) = y
′
=
dy
dx
= Dxy.
Definição 4.1.2. Uma função f é diferenciável em x1 se f
′
(x1) existir. Uma função é diferen-
ciável se for diferenciável em todo ponto do seu domínio.
Definição 4.1.3. Se a função f está definida em x1, então a derivada à direita em x1 é definida
por:
f
′
+(x1) = lim
∆x→0+
f(x1 +∆x)− f(x1)
∆x
caso o limite exista. De maneira análoga se define f
′
−
(x1), a derivada à esqueda de f em x1:
f
′
−
(x1) = lim
∆x→0−
f(x1 +∆x)− f(x1)
∆x
Observação 4.1.2. Como consequência do teorema da existência de limite, pode-se afirmar
que a derivada de f
′
(x1) existe e tem o menor valor A se e somente se ambas as derivadas
f
′
−
(x1) e f
′
+(x1) existirem e tem o valor comum A.
Teorema 4.1.1. Se uma função f é diferenciável em x1, então f é contínua em x1.
Observação 4.1.3. Podemos observar que
1. A recíproca do teorema não é verdadeira. Existem funções contínuas que não são dife-
renciáveis.
2. Como consequência do teorema, pode-se dizer que se f não é contínua em x1, então f
não é diferenciável em x1.
21
22
4.1.1 Teoremas Básicos sobre Diferenciação
Teorema 4.1.2. Se f(x) = c, ∀x, c constante qualquer, então f ′(x) = 0.
Teorema 4.1.3. Se f(x) = xn, n inteiro positivo qualquer, então f
′
(x) = nxn−1.
Teorema 4.1.4. Se f uma função e c uma constante. Se g é uma função definida por g(x) =
cf(x), então, se f
′
(x) existe, g
′
(x) = cf
′
(x).
Teorema 4.1.5. Se u e v são funções e se f é tal que f(x) = u(x) + v(x), então f
′
(x) =
u
′
(x) + v
′
(x), desde que u
′
(x) e v
′
(x) existam (ou seja, a derivada da soma é a soma das
derivadas).
Observação 4.1.4. Podemos observar que
1. Costuma-se escrever (u+ v)
′
= u
′
+ v
′
2. O resultado pode ser estendido a qualquer número finito de funções.
Teorema 4.1.6. Se u e v são funções e se f é tal que f(x) = u(x).v(x), então f
′
(x) =
u
′
(x).v(x) + u(x).v
′
(x), desde que u
′
(x) e v
′
(x) existam.
Observação 4.1.5. Costuma-se escrever (uv)
′
= u
′
v + uv
′
Teorema 4.1.7. Se f é uma função, f(x) 6= 0, então,
(
1
f(x)
)′
= − f
′
(x)
[f(x)]2
, desde que f
′
(x)
exista.
Teorema 4.1.8. Se u e v são funções e se f é tal que f(x) =
u(x)
v(x)
, em que v(x) 6= 0, então,
f
′
(x) =
u
′
(x).v(x)− u(x).v′(x)
[v(x)]2
, desde que u
′
(x) e v
′
(x) existam.
Observação 4.1.6. Costuma-se escrever
(u
v
)′
= u
′
v + uv
′
=
u
′
.v − u.v′
v2
.
4.1.2 A Regra da Cadeia
Teorema 4.1.9. Se y = f(u), u = g(x) e as derivadas
dy
du
e
du
dx
existem, então a função
composta y = f(g(x)) tem derivada dada por,
dy
dx
=
dy
du
× du
dx
,
ou seja, f
′
(x) = f
′
(u).g
′
(x).
Observação 4.1.7. O teorema se estende para a composta de um número finito de funções.
4.1.3 Derivada de Funções Básicas
Teorema 4.1.10. Suponha que f seja contínua e monótona sobre um intervalo I e seja y =
f(x). Se f é diferenciável e f
′
(x) 6= 0 para todo x em I, então a derivada da função inversa
x = f−1(y) é dada por:
dx
dy
=
1
dy
dx
Teorema 4.1.11. Ver tabela de derivadas!
23
4.1.4 Derivadas de Ordem Superior
Se f
′
é a derivada de uma função f , f
′
também é uma função de x, chamada primeira derivada
de f . A derivada de f
′
, se existir, é chamada segunda derivada de f , denotada por,
y
′′
= f
′′
(x) = D2xy =
d2y
dx2
.
Generalizando, a n-ésima derivada da função f é a derivada da (n − 1)-ésima derivada de f .
Indica-se por,
y(n) = f (n)(x) = Dnx(y) =
dn(y)
dxn
4.1.5 A Diferencial
Definição 4.1.4. Se y = f(x), então a diferencial de y, demonstrada por dy, é dada por,
dy = f
′
(x)∆x, em que x está no domínio de f
′
e ∆x é um incremento arbitrário em x.
Ao se trabalhar com a função y = x, tem-se y
′
= 1 e, consequentemente, dy = dx = ∆x,
ou seja, dx = ∆x. Tem-se então a seguinte definição:
Definição 4.1.5. Seja y = f(x), então a diferencial de x, denotada por dx, é dada por, dx =
∆x. Pode-se então escrever, dy = fxdx.
Observação 4.1.8. Podemos observar que
1. Da última relação segue-se que
dy
dx
= f
′
(x),
isto é, f
′
(x) pode ser visto como uma razão diferencial de uma função pela diferencial
da variável independente.
2. Como dy = ∆y, quando ∆x = dx é suficientemente pequeno, conclui-se que a dife-
rencial de y, dy, é o incremento de y, ∆y, são aproximadamente iguais quando dx é
suficientemente pequeno.
e tem-se as seguintes fórmulas diferencias:
1. d(c) = 0
2. d(cu) = cdu
3. d(u+ v) = du+ dv
4. d(uv) = udv + vdu
5. d
(u
v
)
=
vdu− udv
v2
6. d(un) = nun−1du
7. d(xn) = nxn−1dx
em que u e v são funções de x diferenciáveis, c é constante e n é um expoente racional.
Definição 4.1.6. Seja y = f(x), então a diferencial de ordem n é a diferencial da diferencial
de ordem n− 1, ou seja,
dny = f (n)(x)dxn.
24
4.2 Aplicações de Derivada
Teorema 4.2.1. (ROLLE -1652/1719)
Seja f(x) contínua em [a, b] e derivável em (a, b) e que f(a) = f(b) = K. Então, existirá pelo
menos um ponto x¯ tal que f
′
(x¯) = 0.
Teorema 4.2.2. (Cauchy)
Sejam f(x) e g(x) contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b) com g(x) 6= 0 em (a, b). Existirá,
então, pelo menos um ponto x¯ ∈ (a, b) tal que,
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) =
f
′
(x¯)
g
′(x¯)
.
Teorema 4.2.3. (Lagrange)
Seja f(x) contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existirá x¯ ∈ (a, b) tal que f(b)−f(a) =
f
′
(x¯)(b− a).
4.2.1 Funções Crescentes e Decrescentes
Pelo fato de a primeira derivada poder ser interpretada como a tangente do ângulo de tan-
gência de uma reta a uma curva no ponto dado por (a, f(a)), ela poderá ser utilizada para a
análise da taxa de crescimento de uma função.
Teorema 4.2.4. Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b).
1. Se f
′
(x) > 0 para x ∈ (a, b) então f é crescente em [a, b]
2. Se f
′
(x) < 0 para x ∈ (a, b) então f é decrescente em [a, b]
4.2.2 Extremos de Funções - Extremos Absolutos
Definição 4.2.1. O ponto c do domínio de uma função f é dito ponto crítico de f se uma das
seguintes condições for satisfeita:
1. f
′
(c) existe e é zero.
2. f
′
(c) não existe.
Definição 4.2.2. Seja f definida num intervalo I e c0 um ponto em I.
1. f(c0) é máximo absoluto em I se f(x) ≤ f(c0), x ∈ I
2. f(c0) é mínimo absoluto em I se f(x) ≥ f(c0), x ∈ I
Observação 4.2.1. Podemos observar que
1. Casos em que c0 é dito ponto de máximo absoluto e ponto de mínimo absoluto em I,
respectivamente.
2. O conceito de máximo e mínimo absolutos são relativos a um dado intervalo.
Teorema 4.2.5. Se uma função é contínua num intervalo fechado [a, b] entãof admite seu
máximo e seu mínimo pelo menos uma vez em [a, b].
Observação 4.2.2. A prova deste teorema remonta na própria conceituação de números reais
como um corpo ordenado completo, assunto de topologia dos reais que transcende os objetivos
mais aplicados deste curso.
25
4.2.3 Extremos de Funções - Extremos Relativos
Definição 4.2.3. Seja c um ponto no domínio da função f
1. f(c) é máximo relativo (ou local) se existir um intervalo aberto (a, b), contendo c tal que
f(x) ≤ f(c), ∀x ∈ (a, b)
2. f(c) é mínimo relativo (ou local) se existir um intervalo aberto (a, b), contendo c tal que
f(x) ≥ f(c), ∀x ∈ (a, b)
Observação 4.2.3. Podemos observar que
1. Pela definição acima, dado um intervalo I, a função f poderá ter vários máximos e
mínimos relativos, mas apenas um máximo e um mínimo absoluto, quando os tiver.
2. Algumas vezes os extremos relativos (máximos ou mínimos relativos) poderão coincidir
com os extremos relativos.
Teorema 4.2.6. Se uma função é derivável em c e tem um extremo local nesse ponto, então
f
′
(c) = 0.
4.2.4 Condições Suficientes para Extremos Relativos e Funções Contínuas
Teorema 4.2.7. Seja c um valor crítico de f em (a, b). Seja ademais f contínua em [a, b] e
derivável em (a, b), exceto, possivelmente, em c.
1. Se f
′
(x) > 0 para a < x < c e f
′
(x) < 0 para c < x < b, então f(x) é máximo relativo
em c.
2. Se f
′
(x) < 0 para a < x < c e f
′
(x) > 0 para c < x < b, então f(x) é mínimo relativo
em c.
4.2.5 Concavidade e a segunda derivada
Teorema 4.2.8. Seja f uma função e c um ponto de seu domínio em que f
′′
(c) exista.
1. Se f
′′
(c) > 0, então f(x) é côncava para cima.
2. Se f
′′
(c) < 0, então f(x) é côncava para baixo.
Definição 4.2.4. Um ponto (c, f(c)) do gráfico de f , contínua e derivável em (a, b) contendo
c é dito ponto de inflexão se uma das condições abaixo fica satisfeita:
1. Para a < x < c, f
′
(x) é crescente e para c < x < b, f
′
(x) é decrescente.
2. Para a < x < c, f
′
(x) é decrescente e para c < x < b, f
′
(x) é crescente.
4.2.6 Extremos relativos e a segunda derivada
Teorema 4.2.9. Seja f derivável num intervalo (a, b) contendo c e que f
′
(c) = 0. Então,
1. Se f
′′
(c) < 0, então f tem um máximo local em c.
2. Se f
′′
(c) > 0, então f tem um mínimo local em c.
Teorema 4.2.10. Seja f(x) derivável até a terceira ordem e suponha que f
′′
(c) = 0. Então, se
f
′′′
(c) 6= 0, o ponto (c, f(c)) será um ponto de inflexão.
26
4.2.7 Regras de L’Hospital
Teorema 4.2.11. Se para x = a a fração
f(x)
g(x)
admite forma indeterminada
0
0
mas
f
′
(x)
g
′(x)
não
é indeterminada nesse ponto, então
lim
x→a
f
′
(x)
g
′(x)
= lim
x→a
f(x)
g(x)
se o primeiro limite existir.
Teorema 4.2.12. Se
f(x)
g(x)
admite forma indeterminada
∞
∞ quando x tende para a (finito ou
não), então,
lim
x→a
f
′
(x)
g
′(x)
= lim
x→a
f(x)
g(x)
se o primeiro limite existir.
Observação 4.2.4. A demonstração deste teorema é mais complicada pelo fato das funções
serem ilimitadas.
4.3 Estudo Completo de uma função
A construção do gráfico de uma função é um dos objetivos importantes do estudo de derivada.
Os elementos necessários para tal fim constam do roteiro a seguir:
1. Determinação do domínio.
2. Determinação das intersecções com os eixos, quando possível.
3. Determinação dos limites nos extremos do domínio e de possíveis assíntotas.
4. Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e
possíveis assíntotas.
5. Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e de possíveis pontos de
máximo e mínimo.
6. Determinação dos intervalos em que a função é côncava para cima ou para baixo e de
possíveis pontos de inflexão.
7. Esboçar o gráfico de f(x).
4.4 Fórmulas de Taylor e Maclaurin
Seja f uma função e n um número inteiro positivo, tal que a derivada fn+1(x) exista para todo
x em um intervalo I. Se a e x são números distintos em I. Então existe um número z entre a e
x tal que:
f(x) = f(a) +
f
′
(a)
1!
(x− a) + f
′′
(a)
2!
(x− a)2 + · · ·+
+
fn(a)
n!
(x− a)n + f
n+1(z)
n+ 1!
(x− a)n+1
A soma dos n + 1 primeiros termos do membro direito da equação acima é denominado
Polinômio de Taylor (Px(n)) de grau n de f no ponto a.
27
A fórmula de Maclaurin é um caso especial de Taylor quando a = 0, ou seja,
f(x) = f(0) +
f
′
(0)
1!
x+
f
′′
(0)
2!
x2 + · · ·+
+
fn(0)
n!
xn +
fn+1(z)
n+ 1!
(x− a)n+1
Observação 4.4.1. Para mais detalhes veja LASKOSKI, G.T., Fórmulas de Taylor e Maclaurin
(Cálculo Diferencial e Integral I), UTFPR, Curitiba, 2007.
Capítulo 5
Integração
5.1 A Integral Indefinida
Definição 5.1.1. A função F (x) é chamada antiderivada da função f(x) no intervalo [a, b] se
F
′
(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b].
Observação 5.1.1. É fácil verificar que se, para uma dada função f(x) existe uma antideri-
vada, então esta antiderivada não é única.
Teorema 5.1.1. Se F é uma função tal que F
′
(x) = 0 para todos os valores de x no intervalo
[a, b], então F é constante em I.
Teorema 5.1.2. Se F e G são duas funções tais que F
′
(x) = G
′
(x) para todos os valores de
x no intervalo [a, b], então existe uma constante C tal que F (x) = G(x) + C para todo x em
[a, b].
Teorema 5.1.3. Se F (x) é uma antiderivada qualquer de f(x) em um intervalo [a, b], então a
antiderivada mais geral de f em [a, b] é dada por
F (x) + C (5.1)
em que C é uma constante arbitrária e toda antiderivada de f(x) em [a, b] pode ser obtida de
5.1 atribuindo valores específicos a C.
Definição 5.1.2. Seja a função F (x) uma antiderivada de f(x), então a expressão F
′
(x) + C
é a integral indefinida da função f(x) e é denotada pelo símbolo
∫
f(x)dx.
Observação 5.1.2. Podemos observar que
1. Uma integral indefinida é uma família de funções y = F (x) + C
2. Da definição 5.1.2 segue que:
(a)
(∫
f(x)dx
)′
= (F (x) + C)
′
= F
′
(x) = f(x)
(b) d
(∫
f(x)dx
)
= f(x)dx
(c)
∫
dF (x) =
∫
f(x)dx = F (x) + C
3. Tabela Básica
30
Teorema 5.1.4.
∫
[f1(x) + f2(x)] dx =
∫
f1(x)dx+
∫
f2(x)dx
Teorema 5.1.5.
∫
af(x)dx = a
∫
f(x)dx, a constante.
Teorema 5.1.6. Se
∫
f(x)dx = F (x) + C, então
∫
f(ax+ b)dx =
1
a
F (ax+ b) + C
5.1.1 Regra da Substituição
Definição 5.1.3. Se u = g(x) for uma diferencial cuja imagem é um intervalo I e f for
contínua em I, então∫
f(g(x))g
′
(x)dx =
∫
f(u)du
Observação 5.1.3. Podemos observar que
1. Observe regra da substituição para a integração utiliza-se do artifício da regra da cadeia
para diferenciação, assim tem-se a observação a seguir:
(a) A regra da substituição estabelece que: é permitido operar com dx e du após os
sinais de integrais como se fossem diferenciais.
5.1.2 Integração por Partes
Teorema 5.1.7. Sejam u = u(x) e v = v(x) duas funções diferenciáveis. Então∫
u(x)v
′
(x)dx = u(x)v(x)−
∫
v(x)uxdx
Observação 5.1.4. Como du = u
′
(x)dx e dv = v
′
xdx, a expressão acima pode ser escrita em
sua forma mais conhecida∫
udv = uv −
∫
vdu
5.2 A Integral Definida
Definição 5.2.1. Se f é uma função contínua definida por a ≤ x ≤ b, divide-se o intervalo [a, b]
em n subintervalos de comprimentos iguais ∆x =
b− a
n
. Seja x0(= a), x1, x2, · · · , xn(= b) e
extremos desses intervalos e suponha escolher-se os pontos amostrais x∗1, x
∗
2, · · · , x∗n, nesses
subintervalos de tal forma que x∗i está no i-ésimo intervalo [xi−1, xi]. Então a integral definida
de f é∫ b
a
f(x)dx = lim
x→∞
n∑
i=1
f(x∗i )∆x
5.2.1 Propriedades
Teorema 5.2.1. Se f é uma função integrável no intervalo [a, b] e K é um número constante,
então Kf também é integrável em [a, b] e∫ b
a
Kf(x)dx = K
∫ b
a
f(x)dx.
Teorema 5.2.2. Se f e g são funções integráveis no intervalo [a, b], então f + g é também
integrável no intervalo [a, b] e
∫ b
a
[f(x) + g(x)] dx =
∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx.
31
Teorema 5.2.3. Se f é uma função integrável em [a, b] e se f(x) ≥ 0 para todos os valores de
x em [a, b], então
∫ b
a
f(x)dx ≥ 0
Observação 5.2.1. O Teorema 5.2.3 é facilmente mostrado/interpretado geometricamente,
por definição!
Teorema 5.2.4. Se f e g são funções integráveis no intervalo [a, b] e se f(x) ≤ g(x) é válido
para todos os valores de x no intervalo [a, b], então
∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
g(x)dx.
Observação 5.2.2. O Teorema 5.2.4 é facilmente mostrado/interpretado geometricamente,
por definição!
Teorema 5.2.5. Se f é uma função integrável no intervalo [a, b] e K é um número constante,
então Kf também é integrável em [a, b] e
∫ b
a
Kf(x)dx = K
∫ b
a
f(x)dx.
Teorema 5.2.6. Se f e g são funções integráveis no intervalo [a, b], então f + g é também
integrável no intervalo [a, b] e
∫ b
a
[f(x) + g(x)] dx =
∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx.
Teorema 5.2.7. Se f é uma função integrável no intervalo [a, b] então |f | também o será e∣∣∣∣
∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣ <
∫ b
a
f(x)dx.
Teorema 5.2.8. Para quaisquer três número a, b e c a igualdade
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +∫ b
c
f(x)dx é verdadeira, se as integrais existirem.
Observação 5.2.3. O Teorema 5.2.8 é facilmente mostrado/interpretado geometricamente,
por definição!
Teorema 5.2.9. (Teorema do Valor Médio Para Integrais)
Suponha que f seja uma função contínua no intervalo [a, b]. Então, existe um número c em
[a, b] tal que
∫ b
a
f(x)dx = (b− a)f(c).
5.3 Teorema Fundamental do Cálculo (Newton-Leibniz)
Teorema 5.3.1. Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e suponha que a é um
número fixo neste intervalo. Define-se a função g com domínio [b, c] por
g(x) =
∫
f(t)dt ∀ x ∈ [a, b]
Teorema 5.3.2. Se F (x) é uma antiderivada da função contínua f(x), então vale,∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
Observação 5.3.1. Podemos observar que
1. É comum adotar-se a notação
F (b)− F (a) = F (x)|ba = [F (x)]ba.
2. Quando se utiliza alguma técnica de integração (parte ou substituição) deve-se atentar
aos limites de integração.
32
5.4 Integrais Impróprias
Definição 5.4.1. Se existe um limite finito lim
b→+∞
∫ b
a
f(x)dx então este limite é chamado a in-
tegral imprópria da função f(x) no intervalo [a,+∞) e é denotado pelo símbolo
∫ +∞
a
f(x)dx.
Então, por definição,
∫ +∞
a
f(x)dx = lim
b→+∞
∫ b
a
f(x)dx. Neste caso, é dito que a integral
imprópria
∫ +∞
a
f(x)dx converge. Em caso contrário, ela é dita divergente.
Similarmente, define-se as integrais impróprias de outros intervalos infinitos:∫ +∞
−∞
f(x)dx = lim
a→−∞
∫
b
a
f(x)dx∫ +∞
−∞
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
Teorema 5.4.1. Se para todo x(x ≥ a) a desigualdade 0 ≤ f(x) ≤ g(x) é válida e se∫ +∞
a
g(x)dx converge, então
∫ +∞
a
f(x) também converge e
∫ +∞
a
f(x)dx ≤
∫ +∞
a
g(x)dx.
Teorema 5.4.2. Se para todo x(x ≥ a) é válida a desigualdade 0 ≤ f(x) ≤ g(x) e se∫ +∞
a
g(x)dx diverge, então
∫ +∞
a
f(x) também diverge.
Teorema 5.4.3. Se a integral
∫ +∞
a
|f(x)|dx converge, então a integral
∫ +∞
a
f(x)dx também
converge.
Definição 5.4.2. Suponha a função f definida no intervalo (a, b] e integrável em todo intervalo
da forma [a+ c, b]. Então, por definição,
∫ b
a
f(x)dx = lim
c→0+
∫ b
a+c
f(x)dx.
Se lim
c→0+
∫ b
a+c
f(x)dx existe e é finito, diz-se que a integral imprópria
∫ b
a
f(x)dx é conver-
gente; caso contrário, ela é dita divergente.
De forma análoga,
∫ b
a
f(x)dx = lim
c→0+
∫ b−c
a
f(x)dx no caso em que f(b) não é definido e∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx no caso em que f(c) não é definido, a < c < b.
Teorema 5.4.4. Se no intervalo [a, c] as funções f(x) e g(x) não são definidas em c e em todos
os pontos do intervalo é válida a desigualdade g(x) ≥ f(x) ≥ 0, e
∫ c
a
g(x)dx converge, então∫ c
a
f(x)dx também converge.
Teorema 5.4.5. Sejam f(x) e g(x) funções não definidas em c do intervalo [a, c]. Se é válida
a desigualdade f(x) ≥ g(x) ≥ 0, e
∫ c
a
g(x)dx diverge, então
∫ c
a
f(x)dx também diverge.
Teorema 5.4.6. Seja f(x) definida em [a, c], descontínua apenas no ponto c. Se a integral
imprópria
∫ c
a
|f(x)|dx converge, então
∫ c
a
f(x)dx também converge.
Capítulo 6
Funções Beta e Gama
6.1 Função Gama
Definição 6.1.1. Definida pelo matemático Leonard Euler, a função gama representada por
Γ(n), é definida por:
Γ(n) =
∫ +∞
0
xn−1e−xdx
Γ(n) é uma função convergente quando n > 0.
6.1.1 Fórmula de Recorrência
Seja
Γ(n+ 1) = nΓ(n)
Esta expressão pode determinar Γ(n) para todo n > 0. Em particular, se n é um número inteiro
positivo, então:
Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n! (n = 1, 2, 3, · · · ).
A função gama generaliza a função fatorial.
6.2 Função Gama
6.2.1 Função Gama para 0 < n < 1
Para 0 < n < 1, obtém-se a relação dos complementos dada por:
Γ(n)Γ(1− n) = pi
sennpi
n =
1
2
⇒ Γ
(
1
2
)
Γ
(
1
2
)
=
pi
sen
pi
2
= pi
[
Γ
(
1
2
)]2
= pi ⇒ Γ
(
1
2
)
=
√
pi
Então:
Γ
(
1
2
)
=
√
(pi)
Γ
(
3
2
)
=
(
3
2
− 1
)
Γ
(
1
2
)
=
1
2
√
(pi) =
√
(pi)
2
34
6.2.2 Função Gama para n < 0
Da relação de recorrência Γ(n+1) = nΓ(n), que toma Γ(n) como definição para n > 0, pode-se
generalizar a função gama para n < 0, isolando Γ(n):
Γ(n) =
Γ(n+ 1)
n
Então:
Γ
(
−1
2
)
=
Γ
(
−1
2
+ 1
)
−1
2
=
Γ
(
1
2
)
−1
2
=
√
pi(
−1
2
) = −2√pi
Observação 6.2.1. A função
1
Γ(n)
está definida para todo n ∈ R e se anula nos pontos
· · · ,−2,−1, 0, pois Γ(n) é infinita. Em outras palavras, a singularidade que a função teria
nos pontos pode ser removida colocando o valor da função como sendo 0. f(n) =
1
Γ(n)
.
6.3 Função Beta
Definição 6.3.1. Seja
B(m,n) =
∫ 1
0
xm−1(1− x)n−1dx
B(m,n) é uma função convergente quando m > 0 e n > 0.
6.3.1 Definições Recorrentes:
1. Propriedade Comutativa
B(m,n) = B(n,m)
2. Cálculo Direto
B(m,n) =
(n− 1)!
Πn−1i=0 (m+ i)
3. Função Beta em relação à função Gama
B(m,n) =
Γ(m)Γ(n)
Γ(m+ n)
4. Relação dos Complementos: se m+ n = 1, com 0 < n < 1⇒ m = 1− n, então:
B(m,n) = B(1− n,m) = Γ(1− n)Γ(n)
Γ(1− n+ n) = Γ(1− n)Γ(n) =
pi
sennpi
	Revisão de conceitos básicos
	Um pouco sobre notação
	Conjuntos numéricos
	Alguns subconjuntos especiais dos números reais
	Fatoração
	O binômio de Newton
	O triângulo de Pascal
	Funções
	Conceitos Básicos
	Gráfico de uma Função
	Monotonicidade e Paridade de Funções
	Composição de funções
	Álgebra de Funções
	Classificação de Funções
	Inversão de Funções
	Funções Básicas
	Função Constante
	Função Afim
	Função Quadrática
	Função Modular
	Função Exponencial
	Função Logarítmica
	Funções Trigonométricas
	Funções Trigonométricas Inversas
	Limite e continuidade
	Definição de Limite
	Propriedades dos Limites de Funções
	Limites Laterais
	Limites no Infinito
	Limites Infinitos
	Propriedades
	Assíntotas Verticais e Horizontais
	Teoremas Adicionais sobre Limites de Funções
	Continuidade
	Continuidade em um ponto
	Continuidade em um Intervalo
	Derivada
	A Derivada de uma Função
	Teoremas Básicos sobre Diferenciação
	A Regra da Cadeia
	Derivada de Funções Básicas
	Derivadas de Ordem Superior
	A Diferencial
	Aplicações de Derivada
	Funções Crescentes e Decrescentes
	Extremos de Funções - Extremos Absolutos
	Extremos de Funções - ExtremosRelativos
	Condições Suficientes para Extremos Relativos e Funções Contínuas
	Concavidade e a segunda derivada
	Extremos relativos e a segunda derivada
	Regras de L'Hospital
	Estudo Completo de uma função
	Fórmulas de Taylor e Maclaurin
	Integração
	A Integral Indefinida
	Regra da Substituição
	Integração por Partes
	A Integral Definida
	Propriedades
	Teorema Fundamental do Cálculo (Newton-Leibniz)
	Integrais Impróprias
	Funções Beta e Gama
	Função Gama
	Fórmula de Recorrência
	Função Gama
	Função Gama para 0<n<1
	Função Gama para n<0
	Função Beta
	Definições Recorrentes: