Calcular a integral iterada ∫∫ycosxdA, R = (x, y)/0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ π 32/3

Para calcular a integral iterada ∫∫ycosxdA, onde R = (x, y)/0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ π, podemos seguir os seguintes passos: 1. Primeiro, vamos integrar em relação a x. A integral de cos(x) em relação a x é igual a sen(x). Portanto, temos: ∫ycosxdx = ysen(x) 2. Agora, vamos integrar a expressão obtida em relação a y, considerando os limites de integração dados. Temos: ∫∫ycosxdA = ∫[0,π]∫[0,2]ysen(x)dydx 3. Integrando em relação a y, temos: ∫[0,π]ysen(x)dy = (1/2)y^2sen(x) |[0,2] = (1/2)(2)^2sen(x) - (1/2)(0)^2sen(x) = 2sen(x) 4. Agora, vamos integrar a expressão obtida em relação a x, considerando o limite de integração dado. Temos: ∫[0,π]2sen(x)dx = -2cos(x) |[0,π] = -2cos(π) - (-2cos(0)) = -2(-1) - (-2)(1) = -2 + 2 = 0 Portanto, o valor da integral iterada ∫∫ycosxdA, onde R = (x, y)/0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ π, é igual a 0.