2. En R2 con el producto escalar 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = ( x1, x2 )(1 2 2 5 )( y1 y2 ), analizar si es simétrico el operador T (x1, x2) = (2x1, x1 ...

Para analisar se o operador T é simétrico, precisamos verificar se o produto escalar de T(x1, x2) com (y1, y2) é igual ao produto escalar de (x1, x2) com T(y1, y2). Vamos calcular o produto escalar de T(x1, x2) com (y1, y2): T(x1, x2) = (2x1, x1 - x2) (y1, y2) O produto escalar é dado por: 〈T(x1, x2), (y1, y2)〉 = (2x1, x1 - x2)(1 2 2 5)(y1, y2) Multiplicando as matrizes, temos: 〈T(x1, x2), (y1, y2)〉 = (2x1 + 2(x1 - x2), 2(x1 - x2) + 5(x1 - x2))(y1, y2) = (4x1 - 2x2, 7x1 - 7x2)(y1, y2) = 4x1y1 - 2x2y1 + 7x1y1 - 7x2y2 Agora, vamos calcular o produto escalar de (x1, x2) com T(y1, y2): (x1, x2) 〈(y1, y2), T(y1, y2)〉 = (y1, y2)(1 2 2 5)(2y1, y1 - y2) = (2y1 + 2(y1 - y2), 2(y1 - y2) + 5(y1 - y2))(y1, y2) = (4y1 - 2y2, 7y1 - 7y2)(y1, y2) = 4y1y1 - 2y2y1 + 7y1y1 - 7y2y2 Agora, vamos comparar os dois resultados: 4x1y1 - 2x2y1 + 7x1y1 - 7x2y2 = 4y1y1 - 2y2y1 + 7y1y1 - 7y2y2 Simplificando os termos semelhantes, temos: 11x1y1 - 2x2y1 - 7x2y2 = 11y1y1 - 7y2y2 Portanto, para que o operador T seja simétrico, a igualdade acima deve ser verdadeira para todos os valores de x1, x2, y1 e y2. Concluímos que o operador T não é simétrico, pois a igualdade não é satisfeita para todos os valores.