Prove the following statements: 1. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 2. If A ⊆ B, then A ∪ B = B is an enumerable infinite set. 3. If A and B are enumer...

1. Para provar que A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, precisamos mostrar que todo elemento em A ∪ (B ∪ C) também está em (A ∪ B) ∪ C e vice-versa. Começando com o lado esquerdo da igualdade, se x está em A ∪ (B ∪ C), então x está em A ou x está em B ∪ C. Se x está em A, então x está em A ∪ B e, portanto, x está em (A ∪ B) ∪ C. Se x está em B ∪ C, então x está em B ou x está em C. Se x está em B, então x está em A ∪ B e, portanto, x está em (A ∪ B) ∪ C. Se x está em C, então x está em (A ∪ B) ∪ C. Portanto, todo elemento em A ∪ (B ∪ C) também está em (A ∪ B) ∪ C. Agora, vamos para o lado direito da igualdade. Se x está em (A ∪ B) ∪ C, então x está em A ∪ B ou x está em C. Se x está em A ∪ B, então x está em A ou x está em B. Se x está em A, então x está em A ∪ (B ∪ C) e, portanto, x está em A ∪ (B ∪ C). Se x está em B, então x está em B ∪ C e, portanto, x está em A ∪ (B ∪ C). Se x está em C, então x está em A ∪ (B ∪ C). Portanto, todo elemento em (A ∪ B) ∪ C também está em A ∪ (B ∪ C). Assim, mostramos que A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. 2. Se A ⊆ B, então A ∪ B = B. Para provar isso, precisamos mostrar que todo elemento em A ∪ B também está em B e vice-versa. Começando com o lado esquerdo da igualdade, se x está em A ∪ B, então x está em A ou x está em B. Se x está em A, então x está em B, já que A ⊆ B. Se x está em B, então x está em B. Portanto, todo elemento em A ∪ B também está em B. Agora, vamos para o lado direito da igualdade. Se x está em B, então x está em A ∪ B, já que A ⊆ B. Portanto, todo elemento em B também está em A ∪ B. Assim, mostramos que A ∪ B = B. 3. Se A e B são enumeráveis infinitos, então A ∪ B é um conjunto enumerável infinito. Para provar isso, podemos listar os elementos de A e B em sequências infinitas e, em seguida, combinar essas sequências em uma única sequência que contém todos os elementos de A e B. Por exemplo, se A = {a1, a2, a3, ...} e B = {b1, b2, b3, ...}, podemos criar a sequência {a1, b1, a2, b2, a3, b3, ...} que contém todos os elementos de A e B. Como podemos listar todos os elementos de A ∪ B em uma sequência infinita, concluímos que A ∪ B é um conjunto enumerável infinito.