Encontrar la ecuación del plano tangente a las superficies siguientes en los puntos dados: 691 x = u2, y = v2, z = u2 + v2, para u = v = 1.

Para encontrar a equação do plano tangente às superfícies dadas nos pontos dados, podemos usar o conceito de derivadas parciais. Vamos começar encontrando as derivadas parciais das equações em relação a x, y e z. Dada a primeira superfície, 691x = u^2, podemos derivar em relação a x para obter: 691 = 0 A derivada parcial em relação a x é zero, o que significa que a equação não depende de x. Para a segunda superfície, y = v^2, podemos derivar em relação a y para obter: dy/dy = 2v A derivada parcial em relação a y é 2v. Para a terceira superfície, z = u^2 + v^2, podemos derivar em relação a z para obter: dz/dz = 1 A derivada parcial em relação a z é 1. Agora, podemos usar as derivadas parciais para encontrar o vetor normal ao plano tangente. O vetor normal é dado por: N = (dy/dx, dz/dy, dz/dz) Substituindo as derivadas parciais encontradas, temos: N = (0, 2v, 1) No ponto dado u = v = 1, temos v = 1. Substituindo esse valor no vetor normal, temos: N = (0, 2, 1) Agora, podemos usar o ponto dado (1, 1, 2) e o vetor normal (0, 2, 1) para escrever a equação do plano tangente. A equação geral do plano é dada por: 0(x - 1) + 2(y - 1) + 1(z - 2) = 0 Simplificando, temos: 2(y - 1) + (z - 2) = 0 2y + z - 4 = 0 Essa é a equação do plano tangente às superfícies dadas no ponto (1, 1, 2).