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Geometria Analítica Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues e Álgebra Vetorial Curso de: TEMA 4: Vetores no R³ Objetivo geral Compreender as relações algébricas dos vetores no espaço. Objetivos específicos: Visualizar as posições dos pontos no espaço (octante); Aplicar as operações em decorrência nas propriedades de vetores; Resolver problemas aplicando as propriedades compreendidas em aula. TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Decomposição no espaço No espaço qualquer conjunto { 𝑣 1, 𝑣 2, 𝑣 3} de três vetores, não coplanares é uma base e de forma análoga ao ℝ𝟐, 𝑣 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base, ou seja, sempre existem número reais tais que: 𝑣 = 𝑎1 𝑣 1 + 𝑎2 𝑣 2 + 𝑎3 𝑣 3 𝑎1 , 𝑎2 e 𝑎3 são componentes de 𝑣 em relação à base considerada 𝑖 𝑗 𝑘 x z y Quais seriam as coordenadas dos vetores da base canônica? 𝑖 = 1,0,0 𝑗 = 0,1,0 𝑘 = 0,0,1 Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues TEMA 4: Vetores no R³ Importante!!! i) É conhecido como base se os três vetores forem unitários e de dois a dois, forem ortogonais. ii) Cada dupla de eixos determina um plano coordenado. iii) No ℝ𝟑 existem três planos: xOy = plano xy xOz = plano xz yOz = plano yz Observação: Eixo x = abscissa Eixo y = ordenada Eixo z = cota TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 𝑖 𝑗 𝑘 x z y x z y x z y 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Eixo xOz Eixo yOz Eixo xOy Estes três planos se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões conhecidas como octante: TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Sendo assim: TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Representações Dado um ponto P no espaço, tracemos os respectivos planos para interceptá-lo: z x y P B A C 𝑖 𝑗 𝑘 O 𝑣𝑝 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Exemplo: z x y P B A C 𝑖 𝑗 𝑘 O 𝑂𝑃 = 𝑣 = 2𝑖 + 4𝑗 + 3𝑘 D E F 2 3 4 𝑂𝐹 = 𝑢 =? TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues A figura geométrica espacial, pode estar deslocada em relação aos eixos: z x y G B A C 𝑖 𝑗 𝑘 O D E F 1 6 4 H 2 3 Será que somos capazes de encontrarmos as coordenadas de cada ponto no gráfico? TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues A figura geométrica espacial, pode estar deslocada em relação aos eixos: z x y G B A C 𝑖 𝑗 𝑘 O D E F 1 6 4 H 2 3 Como expressar 𝑫𝑩? TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Dado o vetor: 𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 + 𝑘 , podemos escrever: 𝑣 =(2,-3,1) E se fossem assim escritos: 𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 + 𝑘 / 𝑣 = 5𝑖 − 𝑗 / 𝑣 = −𝑖 − 9𝑗 + 10𝑘 Podemos ainda resolver expressões algébricas que envolvam os vetores da base canônica: 𝑖 − 𝑗 = 1, 0, 0 − 0, 1, 0 = (1, −1, 0) 2𝑗 − 𝑘 = 2. 0, 1, 0 − (0, 0, 1) = (0, 2, −1) 4𝑘 = 4. 0, 0, 1 = (0, 0,4) TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Igualdade – Operações – Vetor definido por dois pontos i) Dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 são iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2 e 𝑧1 = 𝑧2. ii) Dados os vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 e a ∈ ℝ, define-se: 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2 𝑎𝑢 = 𝑎𝑥1, 𝑎𝑦1, 𝑎𝑧1 TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues iii) Se A = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e B = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 são dois pontos quaisquer no espaço, então: 𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1 iv) O módulo ou o comprimento de um vetor no espaço: 𝐴𝐵 = 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑦1 − 𝑦2 2 + 𝑧2 − 𝑧1 2 TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Condição de Paralelismo de Dois Vetores Dados dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 colineares e paralelos. Existe um número k tal que: 𝑢 = 𝑘𝑣 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 𝑘. 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 𝑘𝑥2, 𝑘𝑦2, 𝑘𝑧2 Por definição: 𝑥1 = 𝑘𝑥2 𝑦1 = 𝑘𝑦2 𝑧1 = 𝑘𝑧2 Ou seja: 𝑥1 𝑥2 = 𝑦1 𝑦2 = 𝑧1 𝑧2 = 𝑘 , então dizemos que:𝑢 // 𝑣 TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Exemplo: Os vetores 𝑢 = −2, 3, −4 e 𝑣 = −4, 6, −8 são paralelos, pois: −2 −4 = 3 6 = −4 −8 ou seja: 𝑢 = 1 2 𝑣 TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Aplicação: Dados os pontos A 0, 1, −1 e B 1, 2, −1 e os vetores 𝑢 = −2,−1,1 , 𝑣 = 3,0, −1 e 𝑤 = −2, 2, 2 , verificar se existem os números 𝑎1, 𝑎2 e 𝑎3, tais que: 𝑤 = 𝑎1𝐴𝐵 + 𝑎2𝑢 + 𝑎3𝑣 TEMA 4: Vetores no R³ Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues