Encontrar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados: (2, 1, 1), (3,−1, 1), (4, 1,−1).

Para encontrar a equação do plano que passa por três pontos dados, podemos usar o produto vetorial. Vamos chamar os pontos de A(2, 1, 1), B(3, -1, 1) e C(4, 1, -1). Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos usar os vetores AB e AC. Vetor AB = B - A = (3, -1, 1) - (2, 1, 1) = (1, -2, 0) Vetor AC = C - A = (4, 1, -1) - (2, 1, 1) = (2, 0, -2) Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores para obter um vetor perpendicular ao plano. Vetor perpendicular = AB x AC = (1, -2, 0) x (2, 0, -2) Para calcular o produto vetorial, podemos usar a regra da mão direita: i j k 1 -2 0 2 0 -2 = (4, 2, 4) Agora, temos um vetor perpendicular ao plano. Podemos usar esse vetor e um dos pontos dados para escrever a equação do plano na forma geral: Ax + By + Cz + D = 0. Vamos usar o ponto A(2, 1, 1) e o vetor perpendicular (4, 2, 4). Substituindo os valores na equação, temos: 4x + 2y + 4z + D = 0 Agora, podemos substituir as coordenadas do ponto A na equação para encontrar o valor de D: 4(2) + 2(1) + 4(1) + D = 0 8 + 2 + 4 + D = 0 14 + D = 0 D = -14 Portanto, a equação do plano que passa pelos pontos dados é: 4x + 2y + 4z - 14 = 0