Solución 647: La región de integración corresponde a π 2 ≤ θ ≤ 3π 4 , 0 ≤ r ≤ − cos θ. La ecuación r = − cos θ corresponde, en coordenadas cart...

Solución 647:
La región de integración corresponde a
π
2
≤ θ ≤ 3π
4
, 0 ≤ r ≤ − cos θ.
La ecuación r = − cos θ corresponde, en coordenadas cartesianas a
x2 + y2 + x = 0,
que, después de completar cuadrados, vemos que se trata del ćırculo de
radio 12 centrado en (− 12 , 0). Los ĺımites para el ángulo nos informan de
que sólo una parte de tal ćırculo es la región de integración. En concreto
se trata de la parte y ≥ −x sobre la diagonal secundaria. Aśı, la región
de integración se describe en cartesianas como
x2 + y2 + x ≤ 0, y + x ≥ 0.
El integrando corresponde a tan θ (después de “descontar” el jacobiano
r). Dicha función en cartesianas corresponde a yx . Finalmente las solu-
ciones del sistema
x2 + y2 + x = 0, y + x = 0,
nos dan los ĺımites de integración para la variable x. En definitiva
encontramos que se trata de la integral∫ 0
− 12
∫ √−x−x2
−x
y
x
dy dx.
Escribir en cartesianas (sin evaluar) las siguientes integrales expresadas en
coordenadas ciĺındricas:
648
∫ π
2
0
∫ 1
0
∫ r2
0
zr2 cos θ dz dr dθ.
649
∫ π
2
−π2
∫ √cos θ
0
∫ r
0
r2 dz dr dθ.
650
∫ 2π
0
∫ |2 sen θ|
0
∫ 1
0
r2(cos θ + sen θ) dz dr dθ.