530 Para hacernos una idea de la región de integración es importante realizar un boceto de las dos curvas que limitan la región D. Véase la Fig...

530 Para hacernos una idea de la región de integración es importante realizar un boceto de las dos curvas que limitan la región D. Véase la Figura 15b. Las coordenadas de los dos puntos de corte se encuentran resolviendo el sistema y = |x| , y = 2 1 + x2 . 102 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple −2 −1 0 1 2 0 1 2 (a) 529 −2 −1 0 1 2 0 1 2 (b) 530 Figura 15: Regiones de integración de los Ejercicios 529 y 530 Las soluciones se obtienen inmediatamente. De hecho debido a la simetŕıa, basta considerar la ráız positiva de la ecuación x = 2 1 + x2 . Se obtiene sin dificultad x = 1. Los puntos de corte que nos determinan los ĺımites de integración para la variable x son por tanto −1 y 1. Aśı la integral solicitada I será I = ∫ 1 −1 ∫ 2 1+x2 |x| dy dx. La integral interior vale∫ 2 1+x2 |x| dy = 2 1 + x2 − |x| , y la integral segunda será∫ 2 −1 2 1 + x2 − |x| dx = 2 arctanx|1−1 − ∫ 1 −1 |x| dx. Desglosando la segunda integral en los intervalos [−1, 0], [0, 1] para tratar el valor absoluto, encontramos inmediatamente que I = π − 1.