15. Sean A, B y C matrices de tamaño n× n. Pruebe que: (a) Si A es involutiva, entonces 1 2 (A+ In) es idempotente.

Para provar que se A é involutiva, então 1/2 (A + In) é idempotente, podemos seguir os seguintes passos: 1. Primeiro, vamos verificar se 1/2 (A + In) é idempotente, ou seja, se (1/2 (A + In))^2 = 1/2 (A + In). 2. Expandindo o quadrado, temos: (1/2 (A + In))^2 = 1/2 (A + In) * 1/2 (A + In). 3. Multiplicando as matrizes, obtemos: 1/4 (A^2 + AIn + InA + In^2). 4. Como A é involutiva, temos que A^2 = In, então podemos substituir na equação anterior: 1/4 (In + AIn + InA + In^2). 5. Sabemos que In^2 = In, então podemos simplificar a expressão para: 1/4 (In + AIn + InA + In). 6. Agora, vamos agrupar os termos: 1/4 (In + In + AIn + InA). 7. Simplificando, temos: 1/4 (2In + AIn + InA). 8. Podemos fatorar In: 1/4 (2In + AIn + InA) = 1/4 (In(2 + A + A)). 9. Como A é involutiva, temos que A^2 = In, então podemos substituir na equação anterior: 1/4 (In(2 + A + In)). 10. Simplificando, temos: 1/4 (In(2 + A + In)) = 1/4 (In(A + In + In)). 11. Novamente, sabemos que In^2 = In, então podemos simplificar a expressão para: 1/4 (In(A + 2In)). 12. Simplificando, temos: 1/4 (In(A + 2In)) = 1/4 (In(A + 2In)). 13. Por fim, podemos simplificar ainda mais: 1/4 (In(A + 2In)) = 1/4 (A + 2In). Portanto, provamos que se A é involutiva, então 1/2 (A + In) é idempotente.