Diagonaliza la matriz A =
(
−13 20
−12 18
).

Solución: p(λ) =
∣
∣
∣
∣
λ+ 13 −20
12 λ− 18
∣
∣
∣
∣
= λ2 − 18λ+ 13λ− 234 + 240 = λ2 − 5λ+ 6.
Las rá...

Question

Diagonaliza la matriz A =(−13 20−12 18).Solución: p(λ) =∣∣∣∣λ+ 13 −2012 λ− 18∣∣∣∣= λ2 − 18λ+ 13λ− 234 + 240 = λ2 − 5λ+ 6.Las ráıces, o sea los autovalores de A, son 2 y 3 (simples), por lo que A es diagonalizable.Los autovectores correspondientes a λ = 2 son las soluciones del sistema homogéneo con matriz2I −A =(15 −2012 −16)15F1−−→14F2(3 −43 −4)con solución(43)Los autovectores correspondientes a λ = 3 son las soluciones del sistema homogéneo con matriz3I −A =(16 −2012 −15)14F1−−→13F2(4 −54 −5)con solución(54)Por tanto D =(2 00 3)y P =(4 53 4)satisfacen la igualdad pedida.

Ed · Answer

A matriz A = 
(
−13 20
−12 18
)
pode ser diagonalizada. O polinômio característico p(λ) é dado por:
p(λ) = |λ+13 -20|
        |12 λ-18|
        = λ² - 18λ + 13λ - 234 + 240
        = λ² - 5λ + 6.

As raízes desse polinômio, ou seja, os autovalores de A, são 2 e 3 (simples). Portanto, A é diagonalizável.

Os autovetores correspondentes a λ = 2 são as soluções do sistema homogêneo com matriz 2I - A:
(15 -20)(x)   (0)
(12 -16)(y) = (0)

A solução desse sistema é (4, 3).

Os autovetores correspondentes a λ = 3 são as soluções do sistema homogêneo com matriz 3I - A:
(16 -20)(x)   (0)
(12 -15)(y) = (0)

A solução desse sistema é (5, 4).

Portanto, a matriz diagonal D é:
(2 0)
(0 3)

E a matriz P é:
(4 5)
(3 4)

Essas matrizes satisfazem a igualdade pedida.

Diagonaliza la matriz A = ( −13 20 −12 18 ). Solución: p(λ) = ∣ ∣ ∣ ∣ λ+ 13 −20 12 λ− 18 ∣ ∣ ∣ ∣ = λ2 − 18λ+ 13λ− 234 + 240 = λ2 − 5λ+ 6. Las rá...

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