Dada la matriz A =   4 4 1 4 1 4 1 4 4  , se pide: (a) Comprueba que tiene tres autovalores simples. (b) Da dos argumentos distintos que confi...

(a) Para verificar se a matriz A possui três autovalores simples, podemos calcular o determinante da matriz A - λI, onde λ é o autovalor desconhecido e I é a matriz identidade. Se o determinante for diferente de zero, então λ é um autovalor simples. Vamos calcular: A - λI =   4-λ 4 1 4 1-λ 4 1 4 4-λ   Calculando o determinante dessa matriz, temos: det(A - λI) = (4-λ)((1-λ)(4-λ) - 4(4-λ)) - 4(4(4-λ) - 1(4-λ)) + 1(4(4-λ) - 4(1-λ)) = (4-λ)(λ² - 5λ + 4 - 16 + 4λ) - 4(16 - 4λ - 4 + λ) + 1(16 - 4λ - 4 + λ) = (4-λ)(λ² - λ - 8) - 4(12 - 3λ) + 1(12 - 3λ) = (4-λ)(λ² - λ - 8) - 4(12 - 3λ) + 12 - 3λ = (4-λ)(λ² - λ - 8) - 48 + 12λ + 12 - 3λ = (4-λ)(λ² - λ - 8) + 9λ - 36 Agora, vamos fatorar o polinômio λ² - λ - 8: λ² - λ - 8 = (λ - 4)(λ + 2) Substituindo na expressão do determinante, temos: det(A - λI) = (4-λ)(λ - 4)(λ + 2) + 9λ - 36 = (4-λ)(λ - 4)(λ + 2) + 9(λ - 4) = (4-λ)(λ - 4)(λ + 2 + 9) = (4-λ)(λ - 4)(λ + 11) Agora, vamos igualar o determinante a zero e resolver a equação: (4-λ)(λ - 4)(λ + 11) = 0 Para que o determinante seja igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Portanto, temos três possibilidades: 4 - λ = 0 => λ = 4 λ - 4 = 0 => λ = 4 λ + 11 = 0 => λ = -11 Portanto, a matriz A possui três autovalores simples: λ = 4, λ = 4 e λ = -11. (b) Para confirmar que a matriz A é diagonalizável, precisamos verificar se ela possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Se a matriz tiver três autovalores distintos, então ela será diagonalizável. Neste caso, a matriz A possui três autovalores distintos (λ = 4, λ = 4 e λ = -11), portanto, podemos afirmar que ela é diagonalizável. (c) Para cada autovalor, podemos encontrar um autovetor básico correspondente resolvendo o sistema de equações (A - λI)v = 0, onde v é o autovetor desconhecido. Vamos calcular os autovetores correspondentes a cada autovalor: Para λ = 4: A - 4I =   0 4 1 4 -3 4 1 4 0   Resolvendo o sistema (A - 4I)v = 0, encontramos o autovetor v₁ = (1, -1, 1). Para λ = 4 (repetido): A - 4I =   0 4 1 4 -3 4 1 4 0   Resolvendo o sistema (A - 4I)v = 0, encontramos o autovetor v₂ = (1, -1, 1). Para λ = -11: A + 11I =   15 4 1 4 12 4 1 4 15   Resolvendo o sistema (A + 11I)v = 0, encontramos o autovetor v₃ = (1, -1, 1). Agora, podemos verificar se os autovetores encontrados são linearmente independentes. Se forem, então temos um conjunto completo de autovetores e a matriz A é diagonalizável. Neste caso, os autovetores v₁, v₂ e v₃ são linearmente independentes, portanto, a matriz A é diagonalizável. (d) Não há uma opção (d) na pergunta.