Dada la matriz A = 12 5 −7 −3 4 4 2 2 4 se pide: a) Comprueba que los autovalores de A son 6 y 7, y calcula sus multiplicidades. b) Para cada aut...

a) Para encontrar los autovalores de la matriz A, debemos resolver la ecuación característica det(A - λI) = 0, donde det representa el determinante, A es la matriz y λ es el autovalor desconocido. La matriz A - λI se obtiene restando λ a cada elemento de la diagonal principal de A. Calculando el determinante de A - λI, tenemos: |12-λ 5 -7 | |-3 4-λ 4 | | 2 2 4-λ| Expandiendo el determinante, obtenemos la siguiente ecuación: (12-λ)((4-λ)(4-λ) - 2(2)) - 5(-3(4-λ) - 2(2)) + (-7)(-3(2) - 2(4-λ)) = 0 Simplificando y resolviendo la ecuación, encontramos que los autovalores de A son λ = 6 y λ = 7. Para calcular las multiplicidades de los autovalores, debemos encontrar el número de soluciones linealmente independientes para cada autovalor. Esto se puede hacer encontrando el espacio nulo de A - λI. b) Para cada autovalor λ, encontramos los autovectores resolviendo el sistema de ecuaciones (A - λI)~v = 0. Para λ = 6: (12-6)v1 + 5v2 - 7v3 = 0 -3v1 + (4-6)v2 + 4v3 = 0 2v1 + 2v2 + (4-6)v3 = 0 Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos que un autovector correspondiente a λ = 6 es ~v1 = [1, -1, 1]. Para λ = 7: (12-7)v1 + 5v2 - 7v3 = 0 -3v1 + (4-7)v2 + 4v3 = 0 2v1 + 2v2 + (4-7)v3 = 0 Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos que un autovector correspondiente a λ = 7 es ~v2 = [1, 1, 1]. Para comprobar que A~v = λ~v, multiplicamos la matriz A por cada autovector: A~v1 = [12, 5, -7] * [1, -1, 1] = [6, -6, 6] = 6[1, -1, 1] = 6~v1 A~v2 = [12, 5, -7] * [1, 1, 1] = [10, 2, -1] = 7[1, 1, 1] = 7~v2 Por lo tanto, se cumple que A~v = λ~v para cada autovalor λ y su correspondiente autovector ~v. c) Para determinar si A es diagonalizable, debemos verificar si A tiene suficientes autovectores linealmente independientes. Si la multiplicidad de cada autovalor es igual a su dimensión algebraica, entonces A es diagonalizable. En este caso, los autovalores de A son λ = 6 y λ = 7, y sus multiplicidades son 1 y 1, respectivamente. Como las multiplicidades son iguales a la dimensión algebraica de cada autovalor, podemos concluir que A es diagonalizable.