En R3, calcula: a) Unas ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (0,−1, 0) y es perpendicular al plano que pasa por (1, 2, 3) y tiene vect...

Para calcular as equações paramétricas da reta que passa por (0, -1, 0) e é perpendicular ao plano que passa por (1, 2, 3) e tem vetores diretores (2, -2, 1) e (2, 1, -2), podemos utilizar o produto vetorial dos vetores diretores do plano para obter um vetor diretor da reta perpendicular. O produto vetorial entre os vetores (2, -2, 1) e (2, 1, -2) é dado por: (2, -2, 1) x (2, 1, -2) = (5, 6, 6) Podemos simplificar esse vetor multiplicando-o por um escalar conveniente, por exemplo, 2: 2(5, 6, 6) = (10, 12, 12) Portanto, um vetor diretor da reta perpendicular é (10, 12, 12). Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta utilizando o ponto dado (0, -1, 0) e o vetor diretor encontrado: x = 0 + λ(10) y = -1 + λ(12) z = 0 + λ(12) Assim, as equações paramétricas da reta são: x = 10λ y = -1 + 12λ z = 12λ Para a letra b) da questão, é solicitado que encontremos as equações implícitas da reta que passa por (4, 4, b) e é paralela à reta que passa por (1, 2, 3) e tem vetor diretor (2, 1, 3). Para que duas retas sejam paralelas, seus vetores diretores devem ser múltiplos um do outro. Portanto, podemos multiplicar o vetor diretor da reta dada por um escalar para obter o vetor diretor da reta procurada. Multiplicando o vetor (2, 1, 3) por 2, obtemos o vetor (4, 2, 6), que é um vetor diretor da reta procurada. Assim, as equações implícitas da reta são: (x - 4)/4 = (y - 4)/2 = (z - b)/6 Para a letra c) da questão, é solicitado o valor de b para o qual as retas dos itens anteriores se intersectam. Para isso, podemos igualar as equações paramétricas das retas e resolver o sistema de equações resultante. Igualando as equações paramétricas das retas, temos: 10λ = (x - 4)/4 -1 + 12λ = (y - 4)/2 12λ = (z - b)/6 Podemos isolar λ na primeira equação: λ = (x - 4)/40 Substituindo λ na segunda e terceira equações, temos: -1 + 12((x - 4)/40) = (y - 4)/2 12((x - 4)/40) = (z - b)/6 Simplificando as equações, temos: -1 + 3(x - 4)/10 = (y - 4)/2 3(x - 4)/10 = (z - b)/6 A partir dessas equações, podemos encontrar o valor de b que satisfaz o sistema. No entanto, como a questão não fornece informações adicionais, não é possível determinar um valor específico para b.