En R3 se considera la recta ℓ de ecuaciones impĺıcitas {x− 2y = 1, 3x− 2y − z = 9}. Calcula unas ecuaciones paramétricas de ℓ, la proyección ort...

Para encontrar as equações paramétricas da reta ℓ, podemos resolver o sistema de equações implícitas. Vamos começar encontrando o valor de uma das variáveis em termos das outras duas equações. A partir da primeira equação, temos: x - 2y = 1 x = 2y + 1 Substituindo esse valor na segunda equação, temos: 3(2y + 1) - 2y - z = 9 6y + 3 - 2y - z = 9 4y - z = 6 Agora, podemos escolher uma variável para ser o parâmetro. Vamos escolher y = t. Substituindo na equação acima, temos: 4t - z = 6 z = 4t - 6 Agora, substituindo os valores de x e z em termos de y na primeira equação, temos: x = 2y + 1 x = 2t + 1 Portanto, as equações paramétricas da reta ℓ são: x = 2t + 1 y = t z = 4t - 6 Para encontrar a projeção ortogonal do ponto Q = (11, 8, 8) sobre a reta ℓ, podemos usar a fórmula da projeção ortogonal. A projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta ℓ é dada por: P' = Q + k * (V / ||V||) Onde Q é o ponto dado, V é um vetor diretor da reta ℓ e k é um escalar. Podemos encontrar um vetor diretor da reta ℓ usando as equações paramétricas. Um vetor diretor é dado por: V = (2, 1, 4) Agora, vamos encontrar o valor de k. Substituindo os valores na fórmula da projeção ortogonal, temos: P' = (11, 8, 8) + k * (2, 1, 4) Para que P' esteja na reta ℓ, o vetor PQ' deve ser ortogonal ao vetor diretor V da reta ℓ. Portanto, o produto escalar entre PQ' e V deve ser igual a zero. (PQ') · V = 0 ((11, 8, 8) - P') · (2, 1, 4) = 0 Substituindo os valores de P' e V, temos: ((11, 8, 8) - (11 + 2k, 8 + k, 8 + 4k)) · (2, 1, 4) = 0 Realizando as operações, temos: (2k, -k, -4k) · (2, 1, 4) = 0 4k^2 - k^2 - 16k^2 = 0 -13k^2 - 16k^2 = 0 -29k^2 = 0 Portanto, k = 0. Substituindo o valor de k nas equações paramétricas, temos: x = 2t + 1 y = t z = 4t - 6 Portanto, a projeção ortogonal do ponto Q = (11, 8, 8) sobre a reta ℓ é o ponto P' = (1, 0, -6). Para calcular a distância d(Q, ℓ) entre o ponto Q e a reta ℓ, podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. A distância é dada por: d(Q, ℓ) = ||PQ'|| Onde PQ' é o vetor que liga o ponto Q à projeção ortogonal P' na reta ℓ. Substituindo os valores, temos: d(Q, ℓ) = ||(11, 8, 8) - (1, 0, -6)|| Realizando as operações, temos: d(Q, ℓ) = ||(10, 8, 14)|| Calculando a norma do vetor, temos: d(Q, ℓ) = sqrt(10^2 + 8^2 + 14^2) Portanto, a distância d(Q, ℓ) é igual a sqrt(296).