46. En R3 se considera la recta ℓ que pasa por los puntos A = (0, 3, 1) y B = (2, 2, 3). Encuentra la proyección ortogonal sobre ℓ del punto Q = (...

Para encontrar a projeção ortogonal do ponto Q = (8, 12, 11) sobre a reta ℓ que passa pelos pontos A = (0, 3, 1) e B = (2, 2, 3), podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontre um vetor diretor da reta ℓ. Para isso, subtraia as coordenadas dos pontos A e B: AB = B - A = (2, 2, 3) - (0, 3, 1) = (2, -1, 2). 2. Encontre o vetor que vai do ponto A até o ponto Q: AQ = Q - A = (8, 12, 11) - (0, 3, 1) = (8, 9, 10). 3. Calcule o produto escalar entre os vetores AB e AQ: AB · AQ = (2, -1, 2) · (8, 9, 10) = 2*8 + (-1)*9 + 2*10 = 16 - 9 + 20 = 27. 4. Calcule o comprimento ao quadrado do vetor AB: ||AB||^2 = (2^2) + (-1^2) + (2^2) = 4 + 1 + 4 = 9. 5. Calcule a projeção ortogonal do ponto Q sobre a reta ℓ: projℓ(Q) = (AB · AQ / ||AB||^2) * AB = (27 / 9) * (2, -1, 2) = 3 * (2, -1, 2) = (6, -3, 6). Portanto, a projeção ortogonal do ponto Q = (8, 12, 11) sobre a reta ℓ é P = (6, -3, 6).