3 GEOMETRÍA Finalmente, el plano que contiene a ℓ y Q tiene por vectores directores al vector de ℓ y a −−→ PQ, donde P es un punto de ℓ. Tomando P...

3 GEOMETRÍA
Finalmente, el plano que contiene a ℓ y Q tiene por vectores directores al vector de ℓ y a
−−→
PQ, donde
P es un punto de ℓ. Tomando P = (3, 0, 4) tenemos
−−→
PQ = (−5, 0,−2), que podemos cambiar por
su opuesto, y por tanto la ecuación impĺıcita del plano es
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 5 x+ 2
−1 0 y
3 2 z − 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
o sea − 2x+ 11y + 5z = 14
Alternativa: El producto vectorial (2, 1,−1)× (4,−1,−3) = (−4, 2,−6) es un vector director de ℓ,
que podemos cambiar por (2,−1, 3) para obtener ℓ′, π′ y Q como antes. Entonces se consideran
todos los planos que contienen a ℓ, que son de la forma (haz de planos)
α(2x+ y − z − 2) + β(4x− y − 3z) = 0
El que contiene a Q debe satisfacer (sustituyendo Q) −8α − 14β = 0, por lo que podemos tomar
α = 7 y β = −4, obteniendo aśı el plano −2x+ 11y + 5z = 14.
o
28. Encuentra las ecuaciones del plano de R3 que pasa por P = (1, 1,−1) y es perpendicular a la recta
(x, y, z) = (−1, 6, 4) + λ(3, 2, 1).
Solución: Ser perpendicular a una recta significa ser perpendicular a su vector director, luego nues-
tro plano es perpendicular a (3, 2, 1) y por tanto su ecuación general es de la forma 3x+ 2y + z = D .
Como debe pasar por P se tiene D = 4 y aśı el plano es 3x+ 2y + z = 4.
o
29. Se consideran los puntos de R3 de coordenadas
A = (1, 2, 1) B = (−1, 1, 1) C = (0, 1, 2) D = (3, 1,−1)
Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C, la ecuación del plano que contiene a ese triángulo
y la distancia del punto D a ese plano.
Solución: Consideremos el paralelogramo P que determinan
−−→
AB = (−2,−1, 0) y−→AC = (−1,−1, 1).
El área de P es el doble que la del triángulo pedido T , y por otra parte es el módulo del producto
vectorial de esos vectores, que se calcula del modo usual y vale
√
6. Por tanto el área de T vale√
6/2.
El plano pedido es el que pasa por A y contiene a esos vectores, luego su ecuación general es
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x− 1 y − 2 z − 1
−2 −1 0
−1 −1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −(x− 1) + 2(y − 2) + (z − 1) = −x+ 2y + z − 4
y la distancia de D a ese plano vale
| − 3 + 2− 1− 4|√
1 + 4 + 1
=
6√
6
=
√
6.
o
32. En R3 se pide, dados el punto Q = (2, 4, 1) y la recta ℓ de ecuaciones
{
x− 4y + z = −4
2x− 6y + z = −7
}:
a) Calcula unas ecuaciones paramétricas de ℓ.
b) Calcula unas ecuaciones paramétricas de la recta paralela a ℓ por Q.
c) Calcula una ecuación impĺıcita del plano perpendicular a ℓ por Q.
d) Encuentra un punto R de ℓ tal que la recta que une R y Q sea perpendicular a ℓ.
Solución: Para obtener unas paramétricas resolvemos en función de un parámetro:
(
1 −4 1 −4
2 −6 1 −7
)
→
(
1 −4 1 −4
0 2 −1 1
)
→
(
1 −2 0 −3
0 −2 1 −1
)
Tomando y = α tenemos


x
y
z

 =


2α− 3
α
2α− 1

, o sea


x
y
z

 =


−3
0
−1

+ α


2
1
2

.
La paralela por Q se obtiene sin más que