ara calcular Q1 = ℓ1 ∩ ℓ = ℓ1 ∩ π1 ∩ π2 observamos que π1 “sobra en el cálculo” (pues contiene a ℓ1), por lo que Q1 = ℓ1∩π2, y análogamente, Q2 =...

ara calcular Q1 = ℓ1 ∩ ℓ = ℓ1 ∩ π1 ∩ π2 observamos que
π1 “sobra en el cálculo” (pues contiene a ℓ1), por lo que Q1 = ℓ1∩π2, y análogamente, Q2 = ℓ2∩π1.
Las cuentas:
Para i = 1, 2, el plano πi pasa por Pi y su dirección la marcan ~vi y ~v, por lo que sus ecuaciones son:
π1 ≡ 0 =
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1 3 x
4 2 y − 3
2 1 z − 1
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= 5(y−3)−10(z−1) π2 ≡ 0 =
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6 3 x+ 4
1 2 y − 3
2 1 z + 2
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= −3(x+4)+9(z+2)
Simplificando y reorganizando se tiene π1 ≡ y−2z = 1 y π2 ≡ x−3z = 2, y esas son unas ecuaciones
impĺıcitas de ℓ. Comprobando que ~v satisface las correspondientes ecuaciones homogéneas vemos
que ℓ tiene la dirección requerida. Que ℓ corta a cada ℓi lo vamos a ver a continuación.
Para calcular Q1 sustituimos las paramétricas de ℓ1, o sea (x, y, z) = (α, 3 + 4α, 1 + 2α), en la
impĺıcita de π2, obteniendo
2 = α− 3(1 + 2α) = −3− 5α 5 = −5α α = −1 Q1 = (−1,−1,−1)
Análogamente, para calcular Q2 sustituimos (x, y, z) = (−4+ 6β, 3+ β,−2+ 2β) en la impĺıcita de
π1:
1 = (3 + β)− 2(−2 + 2β) = 7− 3β −6 = −3β β = 2 Q2 = (8, 5, 2)
Observamos que
−−−→
Q1Q2 = (9, 6, 3) = 3~v para re-comprobar que ℓ tiene la dirección requerida.
Otra opción: Buscamos Q1 en ℓ1 (o sea Q1 = P1+α~v1 para algún α) y Q2 en ℓ2 (o sea Q2 = P2+β~v2
para algún β) tales que
−−−→
Q1Q2 sea proporcional a ~v (o sea
−−−→
Q1Q2 = γ~v para algún γ). En definitiva,
buscamos α, β y γ tales que
γ~v =
−−−→
Q1Q2 =
−−−→
P1P2 + β~v2 − α~v1 o α~v1 − β~v2 + γ~v =
−−−→
P1P2
Este sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene solución única α = −1, β = 2 y γ = 3, que
nos dan los Q1 y Q2 de antes; la recta ℓ es la que los une, cuyas impĺıcitas se obtienen del modo
estándar.
Y otra: Pensando en un par de vectores ortogonales a ~v, como (1, 0,−3) y (0, 1,−2), sabemos que
unas impĺıcitas de ℓ deben ser de la forma
{
x− 3z = A
y − 2z = B
}
para ciertos valores de A y de B.
Sustituyendo las paramétricas de ℓ1 en estas impĺıcitas (para calcular ℓ1∩ℓ) se llega a α = −(A+3)/5
y B = 1, mientras que haciendo lo mismo con ℓ2 se llega a A = 2 y β = (7−B)/3. Con los valores
de A y B tenemos unas impĺıcitas de ℓ, y también tenemos α = −1 y β = 2, que nos dan Q1 y Q2.