En R3 se consideran las rectas ℓ1 y ℓ2 con ecuaciones impĺıcitas ℓ1 ≡ {x+ y − 5z = −20, 3x− y + z = 16} y ℓ2 ≡ {x+ y − 2z = 1, 7x+ y + z = 25}. En...

Para encontrar los puntos P1 y P2 por los que pasa la perpendicular común a las rectas ℓ1 y ℓ2, podemos seguir los siguientes pasos: 1. Encontrar los vectores directores de las rectas ℓ1 y ℓ2. Para ello, tomamos los coeficientes de las variables x, y, y z en las ecuaciones implícitas de cada recta. En este caso, los vectores directores son: Para ℓ1: v1 = (1, 1, -5) y v2 = (3, -1, 1) Para ℓ2: v3 = (1, 1, -2) y v4 = (7, 1, 1) 2. Calcular el vector perpendicular a ambos vectores directores. Para ello, podemos utilizar el producto vectorial. Tomamos el producto vectorial entre v1 y v3: n = v1 x v3 3. Encontrar un punto P1 ∈ ℓ1 y un punto P2 ∈ ℓ2. Podemos elegir cualquier punto que satisfaga las ecuaciones implícitas de cada recta. Por ejemplo, podemos tomar: P1 = (0, 0, -4) ∈ ℓ1 P2 = (0, 0, -1) ∈ ℓ2 4. Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta ℓ1 y es perpendicular al vector n. Para ello, utilizamos la ecuación del plano: n · (r - P1) = 0 Donde r es un punto genérico del plano. Sustituyendo los valores, obtenemos: (1, 1, -5) · (x, y, z - (-4)) = 0 x + y + 5z - 21 = 0 5. Calcular la intersección entre el plano y la recta ℓ2. Sustituimos las ecuaciones de ℓ2 en la ecuación del plano: x + y + 5z - 21 = 0 x + y - 2z = 1 7x + y + z = 25 Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos el punto de intersección P2. Estos son los pasos para encontrar los puntos P1 y P2 por los que pasa la perpendicular común a las rectas ℓ1 y ℓ2.