En R3 se pide, dadas las rectas ℓ1 y ℓ2 con ecuaciones impĺıcitas ℓ1 ≡ {x+ 4y − z = 22 x+ z = 12} ℓ2 ≡ {x− y = −1 4x+ z = 36} (a) Para cada recta,...

(a) Para encontrar un punto Pi en cada recta, podemos resolver el sistema de ecuaciones implícitas de cada recta. Para ℓ1, tenemos: x + 4y - z = 22 x + z = 12 Podemos resolver este sistema utilizando el método de eliminación. Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos: 4y - 2z = 10 Podemos elegir un valor arbitrario para y, por ejemplo, y = 2. Sustituyendo este valor en la ecuación anterior, encontramos: 8 - 2z = 10 -2z = 2 z = -1 Sustituyendo estos valores en la segunda ecuación, encontramos: x - 1 = 12 x = 13 Por lo tanto, un punto Pi en ℓ1 es P1(13, 2, -1). Para ℓ2, tenemos: x - y = -1 4x + z = 36 Podemos resolver este sistema utilizando el método de sustitución. Despejando x en la primera ecuación, obtenemos: x = y - 1 Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, encontramos: 4(y - 1) + z = 36 4y - 4 + z = 36 4y + z = 40 Podemos elegir un valor arbitrario para y, por ejemplo, y = 2. Sustituyendo este valor en la ecuación anterior, encontramos: 8 + z = 40 z = 32 Sustituyendo estos valores en la primera ecuación, encontramos: x - 2 = -1 x = 1 Por lo tanto, un punto Pi en ℓ2 es P2(1, 2, 32). Para encontrar los vectores directores ~vi, podemos observar los coeficientes de las variables en las ecuaciones implícitas de cada recta. Para ℓ1, el vector director ~v1 es (1, 4, -1). Para ℓ2, el vector director ~v2 es (1, -1, 0). (b) Para encontrar los puntos Q1 en ℓ1 y Q2 en ℓ2 por los que pasa su perpendicular común, podemos utilizar el método de intersección de rectas. La perpendicular común a dos rectas es perpendicular a los vectores directores de ambas rectas. La perpendicular común a ℓ1 y ℓ2 es perpendicular a ~v1 y ~v2, por lo que su vector director será el producto cruz de ~v1 y ~v2. Calculando el producto cruz, obtenemos: ~v1 x ~v2 = (4, 5, -5) Podemos elegir un punto arbitrario en ℓ1, por ejemplo, P1(13, 2, -1). Utilizando este punto y el vector director de la perpendicular común, podemos encontrar el punto Q1 en ℓ1 por el que pasa la perpendicular común: Q1 = P1 + t(~v1 x ~v2) Donde t es un parámetro. Sustituyendo los valores, obtenemos: Q1 = (13, 2, -1) + t(4, 5, -5) Para encontrar el valor de t, podemos utilizar la ecuación implícita de ℓ1: x + 4y - z = 22 Sustituyendo los valores de Q1, obtenemos: 13 + 4(2) - (-1) = 22 13 + 8 + 1 = 22 22 = 22 Esto nos indica que Q1 está en ℓ1. De manera similar, podemos elegir un punto arbitrario en ℓ2, por ejemplo, P2(1, 2, 32). Utilizando este punto y el vector director de la perpendicular común, podemos encontrar el punto Q2 en ℓ2 por el que pasa la perpendicular común: Q2 = P2 + t(~v1 x ~v2) Donde t es un parámetro. Sustituyendo los valores, obtenemos: Q2 = (1, 2, 32) + t(4, 5, -5) Para encontrar el valor de t, podemos utilizar la ecuación implícita de ℓ2: x - y = -1 Sustituyendo los valores de Q2, obtenemos: 1 - 2 = -1 -1 = -1 Esto nos indica que Q2 está en ℓ2. Para comprobar que el vector ~Q1Q2 es perpendicular a ~v1 y ~v2, podemos calcular el producto punto entre ~Q1Q2 y ~v1, y entre ~Q1Q2 y ~v2. Si ambos productos punto son cero, entonces ~Q1Q2 es perpendicular a ~v1 y ~v2. (c) Para calcular la distancia entre ℓ1 y ℓ2, podemos utilizar la fórmula de la distancia entre dos rectas paralelas en el espacio: d = |(P1 - P2) · n| / |n| Donde P1 y P2 son puntos en cada recta, n es un vector normal a ambas rectas y · representa el producto punto. Podemos elegir P1(13, 2, -1) en ℓ1 y P2(1, 2, 32) en ℓ2. El vector normal n es el vector director de la perpendicular común, que calculamos anteriormente como (4, 5, -5). Sustituyendo los valores en la fórmula, obtenemos: d = |(13, 2, -1) - (1, 2, 32) · (4, 5, -5)| / |(4, 5, -5)| Calculando los valores, obtenemos: d = |(12, 0, -33) · (4, 5, -5)| / |(4, 5, -5)| d = |(48, 0, 165) · (4, 5, -5)| / |(4, 5, -5)| d = |(192, 0, -825) · (4, 5, -5)| / |(4, 5, -5)| d = |(768, 0, -4125)| / |(4, 5, -5)| d = sqrt(768^2 + 0^2 + (-4125)^2) / sqrt(4^2 + 5^2 + (-5)^2) d = sqrt(589824 + 17015625) / sqrt(16 + 25 + 25) d = sqrt(17605449) / sqrt(66) d ≈ 2646.47 / 8.124 d ≈ 325.57 Por lo tanto, la distancia entre ℓ1 y ℓ2 es aproximadamente 325.57 unidades.