En R3 se considera el plano π de ecuaciones paramétricas    x = 4 + 2α y = 2 + α+ β z = 8 + 5α+ 2β . Calcula unas ecuaciones impĺıcitas para π...

Para encontrar as equações implícitas do plano π, podemos eliminar os parâmetros α e β das equações paramétricas. Vamos começar isolando α em uma das equações: x = 4 + 2α 2α = x - 4 α = (x - 4) / 2 Agora, substituímos o valor de α nas outras equações: y = 2 + α + β y = 2 + [(x - 4) / 2] + β y = (x + 4) / 2 + β z = 8 + 5α + 2β z = 8 + 5[(x - 4) / 2] + 2β z = (5x - 12) / 2 + 2β Portanto, as equações implícitas do plano π são: y = (x + 4) / 2 + β z = (5x - 12) / 2 + 2β Agora, para encontrar a projeção ortogonal do ponto Q = (8, 11, 3) sobre o plano π, podemos substituir as coordenadas de Q nas equações paramétricas do plano e encontrar os valores de α e β que satisfazem essas equações. Em seguida, substituímos esses valores nas equações implícitas para obter as coordenadas da projeção ortogonal. Por fim, para calcular a distância d(Q, π), podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano: d(Q, π) = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2) Onde A, B, C e D são os coeficientes das equações implícitas do plano π, e x, y e z são as coordenadas do ponto Q.