31. La ecuación x2 + xy2 + 2y = 6 define a la variable y como función de x con y(0) = 3. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 2 de y(x).

Para calcular o polinômio de Maclaurin de grau 2 de y(x), podemos usar a fórmula geral do polinômio de Maclaurin: P(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)/2!)(x - a)^2 Nesse caso, a função f(x) é dada por x^2 + xy^2 + 2y = 6. Precisamos encontrar o valor de a, que é o ponto em torno do qual queremos desenvolver o polinômio. No enunciado, é mencionado que y(0) = 3, então podemos escolher a = 0. Agora, vamos calcular as derivadas de f(x) em relação a x: f'(x) = 2x + y^2 + 2xy(dy/dx) + 2y(dy/dx) f''(x) = 2 + 2(dy/dx) + 2x(d^2y/dx^2) + 2(dy/dx) + 2(dy/dx) Substituindo x = a = 0 e y = y(0) = 3, temos: f'(0) = 2(0) + 3^2 + 2(0)(dy/dx) + 2(3)(dy/dx) = 9 + 6(dy/dx) f''(0) = 2 + 2(dy/dx) + 2(0)(d^2y/dx^2) + 2(dy/dx) + 2(dy/dx) = 2 + 4(dy/dx) Agora, podemos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Maclaurin: P(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + (f''(0)/2!)(x - 0)^2 = 6 + (9 + 6(dy/dx))x + (2 + 4(dy/dx))(x^2/2) Simplificando, temos: P(x) = 6 + 9x + 6(dy/dx)x + (1 + 2(dy/dx))x^2 Portanto, o polinômio de Maclaurin de grau 2 de y(x) é dado por P(x) = 6 + 9x + 6(dy/dx)x + (1 + 2(dy/dx))x^2.