32. La ecuación x2 + xy2 + y3 + y = 2 define a la variable y como función de x con y(0) = 1. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 2 de y(x)...

Para calcular o polinômio de Maclaurin de grau 2 de y(x), podemos usar a fórmula geral do polinômio de Maclaurin: y(x) = y(a) + y'(a)(x - a) + (y''(a)/2!)(x - a)^2 Nesse caso, temos a função y(x) definida pela equação x^2 + xy^2 + y^3 + y = 2, com y(0) = 1. Para encontrar o polinômio de Maclaurin de grau 2, precisamos calcular y'(x) e y''(x) e substituir na fórmula acima. Primeiro, vamos calcular y'(x), a derivada de y(x) em relação a x: dy/dx = d/dx (x^2 + xy^2 + y^3 + y - 2) = 2x + y^2 + 2xy(dy/dx) + 3y^2(dy/dx) + dy/dx Agora, vamos substituir x = 0 e y = 1 na equação acima para encontrar y'(0): y'(0) = 2(0) + (1)^2 + 2(0)(y'(0)) + 3(1)^2(y'(0)) + y'(0) = 1 + 3y'(0) + y'(0) = 4y'(0) + 1 Agora, vamos calcular y''(x), a segunda derivada de y(x) em relação a x: d^2y/dx^2 = d/dx (2x + y^2 + 2xy(dy/dx) + 3y^2(dy/dx) + dy/dx) = 2 + 2y(dy/dx) + 2x(dy/dx) + 2y(dy/dx)^2 + 6y(dy/dx)^2 + (d^2y/dx^2) Substituindo x = 0 e y = 1, temos: y''(0) = 2 + 2(1)(y'(0)) + 2(0)(y'(0)) + 2(1)(y'(0))^2 + 6(1)(y'(0))^2 + y''(0) = 2 + 2y'(0) + 2(y'(0))^2 + 6(y'(0))^2 + y''(0) = 8(y'(0))^2 + 2y'(0) + y''(0) + 2 Agora, podemos substituir os valores de y(0), y'(0) e y''(0) na fórmula do polinômio de Maclaurin: y(x) = y(0) + y'(0)(x - 0) + (y''(0)/2!)(x - 0)^2 = 1 + (4y'(0) + 1)x + ((8(y'(0))^2 + 2y'(0) + y''(0) + 2)/2)x^2 Substituindo o valor de y'(0) = 1 e y''(0) = 2, temos: y(x) = 1 + (4(1) + 1)x + ((8(1)^2 + 2(1) + 2)/2)x^2 = 1 + 5x + (8 + 2 + 2)/2)x^2 = 1 + 5x + 6x^2 Portanto, o polinômio de Maclaurin de grau 2 de y(x) é y(x) = 1 + 5x + 6x^2.