34. La ecuación 2x2 + xy2 + y3 = 8 define a la variable y como función de x con y(0) = 2. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado 2 de y(x).

Para encontrar o polinômio de Maclaurin de grau 2 de y(x), podemos usar a fórmula geral para o polinômio de Maclaurin: P(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)/2!)(x - a)^2 Neste caso, a função f(x) é dada por f(x) = 2x^2 + xy^2 + y^3 - 8. Precisamos encontrar os valores de f(a), f'(a) e f''(a) para calcular o polinômio de Maclaurin. Primeiro, vamos encontrar f(a) substituindo x = 0 e y = 2 na função f(x): f(a) = 2(0)^2 + 0(2)^2 + (2)^3 - 8 = 0 + 0 + 8 - 8 = 0 Agora, vamos encontrar f'(a) substituindo x = 0 e y = 2 na derivada parcial de f(x) em relação a y: f'(a) = ∂f/∂y = 2xy + 3y^2 f'(a) = 2(0)(2) + 3(2)^2 = 0 + 3(4) = 12 Por fim, vamos encontrar f''(a) substituindo x = 0 e y = 2 na segunda derivada parcial de f(x) em relação a y: f''(a) = ∂²f/∂y² = 2x + 6y f''(a) = 2(0) + 6(2) = 0 + 12 = 12 Agora, podemos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Maclaurin: P(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)/2!)(x - a)^2 P(x) = 0 + 12(x - 0) + (12/2)(x - 0)^2 P(x) = 12x + 6x^2 Portanto, o polinômio de Maclaurin de grau 2 de y(x) é 12x + 6x^2.