4.- Consideremos la ecuación en diferencias siguiente y(k + 3)− 3y(k + 2) + 3y(k + 1)− y(k) = 1. a) Resolver la ecuación homogénea asociada. b) ...

A equação em diferenças dada é: y(k + 3) - 3y(k + 2) + 3y(k + 1) - y(k) = 1. a) Para resolver a equação homogênea associada, consideramos a equação: y(k + 3) - 3y(k + 2) + 3y(k + 1) - y(k) = 0. A equação característica correspondente é: t^3 - 3t^2 + 3t - 1 = 0. Essa equação possui uma única raiz (t = 1) com multiplicidade 3. Portanto, a solução geral da equação homogênea é: yh(k) = C1(1)^k + C2k(1)^k + C3k^2(1)^k = C1 + C2k + C3k^2. b) Para obter a solução geral da equação em diferenças completa, precisamos encontrar uma solução particular. Como ϕ(k) = 1 é uma constante e 1 é uma raiz da equação característica com multiplicidade 3, tentamos uma solução do tipo: yp(k) = Ck^3. Substituindo na equação original, temos: C(k + 3)^3 - 3C(k + 2)^3 + 3C(k + 1)^3 - Ck^3 = 1. Portanto, C = 1/6, e a solução particular é yp(k) = (1/6)k^3. Finalmente, a solução geral da equação em diferenças é: y(k) = C1 + C2k + C3k^2 + (1/6)k^3. c) Para verificar as condições iniciais y(0) = 0, y(1) = 1 e y(2) = 0, substituímos esses valores na solução geral encontrada: y(0) = C1 = 0, y(1) = C1 + C2 + C3 + (1/6) = 1, y(2) = C1 + 2C2 + 4C3 + (8/6) = 0. Resolvendo esse sistema de equações, encontramos: C1 = 0, C2 = 1/3, C3 = 1/2. Portanto, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é: y(k) = (1/3)k - (1/2)k^2 + (1/6)k^3.