3.- Consideremos la ecuación en diferencias siguiente y(k + 2)− 9y(k + 1) + 20y(k) = 4k. a) Resolver la ecuación homogénea asociada. 201 b) Dar...

3.- Consideremos la ecuación en diferencias siguiente
y(k + 2)− 9y(k + 1) + 20y(k) = 4k.
a) Resolver la ecuación homogénea asociada. 201
b) Dar la solución general de dicha ecuación.
Solución:
a) La ecuación homogénea asociada es
y(k + 2)− 9y(k + 1) + 20y(k) = 0,
cuya ecuación caracteŕıstica es
t2 − 9t+ 20 = 0,
Las ráıces de dicha ecuación son claramente 5, 4. Por lo que la solución general de
la ecuación homogénea es
yh(k) = C1(5)
k + C2(4)
k.
b) Para dar la solución general de la ecuación en diferencias completa, necesitamos
una solución particular de dicha ecuación.
Puesto que ϕ(k) = 4k exponecial y 4 es ráız de la ecuación caracteŕıstica de multi-
plicidad 1, ensayamos una solución del tipo
yp(k) = Ak3
k,
esto es
A(k + 2)4k+2 − 9A(k + 1)4k+1 + 20Ak4k = 4k,
Ak(4k+2 − 9 · 4k+1 + 20 · 4k) + (2A4k+2 − 9A4k+1 − 4k) = 0,
esto es
(Ak(16− 36 + 20) + (A(32− 36)− 1))4k = 0
y por tanto A = −1
4
, esto es yp(k) = −
1
4
k4k = −k4k−1.
Finalmente tenemos pues
y(k) = C1(5)
k + C2(4)
k +−k4k−1.