2.- Consideremos la ecuación en diferencias siguiente y(k + 2)− 3y(k + 1) + 2y(k) = 3k. a) Resolver la ecuación homogénea asociada. b) Dar la so...

2.- Consideremos la ecuación en diferencias siguiente
y(k + 2)− 3y(k + 1) + 2y(k) = 3k.
a) Resolver la ecuación homogénea asociada.
b) Dar la solución general de dicha ecuación.
Solución: 200 CAPÍTULO 9. SISTEMAS LINEALES DISCRETOS
a) La ecuación homogénea asociada es
y(k + 2)− 3y(k + 1) + 2y(k) = 0,
cuya ecuación caracteŕıstica es
t2 − 3t+ 2 = 0.
Las ráıces de dicha ecuación son claramente 2, 1. Por lo que la solución general de
la ecuación homogénea es
yh(k) = C1(1)
k + C2(2)
k = C1 + C2(2)
k.
b) Para dar la solución general de la ecuación en diferencias completa, necesitamos
una solución particular de dicha ecuación.
Puesto que ϕ(k) = 3k exponecial y 3 no es ráız de la ecuación caracteŕıstica, ensa-
yamos una solución del tipo
yp(k) = A3
k
esto es
A3k+2 − 3A3k+1 + 2A3k = 3k
que simplificando
3k(2A− 1) = 0,
y por tanto A =
1
2
, esto es yp(k) =
1
2
3k.
Finalmente tenemos pues
y(k) = C1 + C2(2)
k +
1
2
3k.