En Z, se define la relación xRy ⇔ x = 5y. Analizar si es relación de orden.

Para analisar se a relação xRy definida como x = 5y é uma relação de ordem, devemos verificar se ela satisfaz as três propriedades de uma relação de ordem: reflexividade, antissimetria e transitividade. 1. Reflexividade: Para ser reflexiva, a relação deve satisfazer a condição de que todo elemento x esteja relacionado a si mesmo. Neste caso, se x = 5y, podemos substituir y por x/5 e obter x = 5(x/5), que é verdadeiro para qualquer valor de x. Portanto, a relação é reflexiva. 2. Antissimetria: Para ser antissimétrica, a relação deve satisfazer a condição de que se xRy e yRx, então x = y. Neste caso, se x = 5y e y = 5x, podemos substituir y por 5x na primeira equação e obter x = 5(5x), que simplifica para x = x. Isso é verdadeiro para qualquer valor de x. Portanto, a relação é antissimétrica. 3. Transitividade: Para ser transitiva, a relação deve satisfazer a condição de que se xRy e yRz, então xRz. Neste caso, se x = 5y e y = 5z, podemos substituir y por 5z na primeira equação e obter x = 5(5z), que simplifica para x = 25z. Isso é verdadeiro para qualquer valor de z. Portanto, a relação é transitiva. Portanto, a relação xRy definida como x = 5y é uma relação de ordem, pois satisfaz as três propriedades: reflexividade, antissimetria e transitividade.