Sea (G, ·) un grupo y H un subgrupo normal de G. Demostrar que G/H es grupo con la operación (aH)(bH) = (ab)H ∀a, b ∈ G.

Para demostrar que G/H es un grupo con la operación (aH)(bH) = (ab)H, debemos verificar las propiedades de grupo: 1. Cerradura: Tomemos dos elementos arbitrarios (aH) y (bH) en G/H. Queremos demostrar que su producto (aH)(bH) = (ab)H también está en G/H. Dado que G es un grupo, sabemos que ab también está en G. Por lo tanto, (ab)H está en G/H, lo que demuestra la cerradura. 2. Asociatividad: Tomemos tres elementos arbitrarios (aH), (bH) y (cH) en G/H. Queremos demostrar que ((aH)(bH))(cH) = (aH)((bH)(cH)). Usando la definición de la operación en G/H, tenemos que ((aH)(bH))(cH) = (ab)H(cH) = ((ab)c)H. Por otro lado, (aH)((bH)(cH)) = (aH)(bc)H = (a(bc))H. Dado que G es un grupo, sabemos que (ab)c = a(bc). Por lo tanto, ((aH)(bH))(cH) = (aH)((bH)(cH)), lo que demuestra la asociatividad. 3. Elemento neutro: El elemento neutro en G/H es el subgrupo H. Para demostrar esto, tomemos un elemento arbitrario (aH) en G/H. Queremos demostrar que (aH)(eH) = (aH) y (eH)(aH) = (aH), donde e es el elemento neutro en G. Usando la definición de la operación en G/H, tenemos que (aH)(eH) = (ae)H = aH. De manera similar, (eH)(aH) = (ea)H = aH. Por lo tanto, el subgrupo H actúa como el elemento neutro en G/H. 4. Elemento inverso: Para cada elemento (aH) en G/H, existe un elemento (a^(-1)H) en G/H tal que (aH)(a^(-1)H) = (a^(-1)H)(aH) = (eH), donde a^(-1) es el inverso de a en G. Usando la definición de la operación en G/H, tenemos que (aH)(a^(-1)H) = (aa^(-1))H = eH. De manera similar, (a^(-1)H)(aH) = (a^(-1)a)H = eH. Por lo tanto, cada elemento en G/H tiene un inverso. Dado que G/H cumple con todas las propiedades de grupo, podemos concluir que G/H es un grupo con la operación (aH)(bH) = (ab)H.