5. Sea (G, ∗) un grupo y sean H1 y H2 subgrupos de G. Demostrar que H1 ∩H2 es subgrupo de G.

Para demonstrar que H1 ∩ H2 é um subgrupo de G, precisamos verificar três condições: 1. Fechamento: Para todo a, b em H1 ∩ H2, a * b também deve estar em H1 ∩ H2. Isso ocorre porque a interseção de dois conjuntos preserva a propriedade de fechamento. Portanto, a * b está em H1 e H2, e consequentemente, está em H1 ∩ H2. 2. Identidade: O elemento neutro de G deve estar em H1 ∩ H2. Como H1 e H2 são subgrupos de G, eles contêm o elemento neutro de G. Portanto, o elemento neutro está em H1 ∩ H2. 3. Inverso: Para todo a em H1 ∩ H2, o inverso de a também deve estar em H1 ∩ H2. Isso ocorre porque se a está em H1 e H2, então seu inverso também está em H1 e H2. Portanto, o inverso de a está em H1 ∩ H2. Assim, H1 ∩ H2 satisfaz todas as condições para ser um subgrupo de G.