Demostrar que la aplicación f : R → R, f(x) = ax con a > 0 real fijo es homomorfismo entre los grupos (R,+) y (R− {0}, ·).

Para demonstrar que a função f: R → R, f(x) = ax, com a > 0 sendo um número real fixo, é um homomorfismo entre os grupos (R, +) e (R - {0}, ·), devemos verificar duas propriedades: 1. Preservação da operação: Para todo x, y ∈ R, devemos mostrar que f(x + y) = f(x) · f(y). Vamos começar calculando f(x + y): f(x + y) = a(x + y) = ax + ay Agora, vamos calcular f(x) · f(y): f(x) · f(y) = (ax) · (ay) = axy Podemos ver que f(x + y) = f(x) · f(y), portanto, a função f preserva a operação de adição. 2. Preservação da identidade: Devemos mostrar que f(0) é a identidade do grupo (R - {0}, ·). Vamos calcular f(0): f(0) = a(0) = 0 Podemos ver que f(0) = 0, que é a identidade do grupo (R - {0}, ·). Portanto, a função f: R → R, f(x) = ax, com a > 0 sendo um número real fixo, é um homomorfismo entre os grupos (R, +) e (R - {0}, ·).