Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Se dice que una función real f : V → R es convexa cuando f(αx + βy) ≤ αf(x) + βf(y) ∀x, y ∈ V y ∀...

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Se dice que una función real f : V → R es convexa cuando f(αx + βy) ≤ αf(x) + βf(y) ∀x, y ∈ V y ∀α, β ∈ R con α, β ≥ 0, α+ β = 1.
(a) Desde luego las formas lineales o funcionales f : V → R son funciones convexas como fácilmente se puede comprobar, pero existen funciones convexas que no son lineales. Demostrar que la función f(x) = x2 de R en R es convexa y no lineal.
(b) Sea f : V → R una forma cuadrática. Demostrar que si f es positiva (es decir f(x) ≥ 0 para todo x de V ) entonces f es convexa.
(c) Enunciar la propiedad rećıproca de la anterior y estudiar su validez (en caso afirmativo dar una demostración y en caso contrario construir un contraejemplo). En todo caso dar una caracterización de las formas cuadráticas que son funciones convexas.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).
Solución. (a) Elijamos el escalar λ = 2 y el vector x = 1. Entonces f(λx) = f(2) = 4 y λf(1) = 2 · 1 = 2, es decir f(λx) 6= λf(x) para algún λ y x y por tanto la función f(x) = x2 no es lineal. Veamos que es convexa. Claramente una función f es convexa śı y sólo si:
f(αx+ (1− α)y) ≤ αf(x) + (1− α)f(y) ∀x, y ∈ V, ∀α ∈ [0, 1].
Para f(x) = x2 tenemos:
(αx+ (1− α)y)2 ≤ αx2 + (1− α)y2
⇔ α2x2 + 2α(1− α)xy + (1− α)2y2 − αx2 − (1− α)y2 ≤ 0
⇔ (α2 − α)x2 + (α2 − α)y2 + 2(α2 − α)xy ≤ 0
⇔ (α2 − α)(x+ y)2 ≤ 0.
La última desigualdad se verifica pues α2 − α ≤ 0 para todo α en [0, 1].
Hemos demostrado por tanto que la función f(x) = x2 es convexa pero no lineal.
(b) Por hipótesis dimV = n finita y f(x) ≥ 0 para todo x de V . Por un conocido teorema, existe una base B = {u1, . . . , un} de V respecto de la cual la expresión de f es:
f(x) = x21 + . . .+ x2r , (r ≤ n , x = x1u1 + . . .+ xnun).