Dada la ecuación x3− 7x+ k = 0, calcular k para que una solución sea el doble de otra. Resolver dicha ecuación.

Para que una solución sea el doble de otra en la ecuación x^3 - 7x + k = 0, podemos utilizar el método de Cardano para resolverla. Primero, asumamos que una solución es "a". Entonces, la otra solución será "2a". Sustituyendo estos valores en la ecuación, obtenemos: (a)^3 - 7(a) + k = 0 (2a)^3 - 7(2a) + k = 0 Simplificando estas ecuaciones, tenemos: a^3 - 7a + k = 0 8a^3 - 14a + k = 0 Restamos la segunda ecuación de la primera para eliminar "k": 8a^3 - a^3 - 14a + 7a = 0 7a^3 - 7a = 0 7a(a^2 - 1) = 0 Esto nos da dos soluciones posibles para "a": a = 0 y a^2 - 1 = 0. Si a = 0, entonces la otra solución sería 2a = 2(0) = 0, lo cual no cumple con la condición de ser el doble de otra solución. Si resolvemos a^2 - 1 = 0, encontramos que a = ±1. Por lo tanto, las soluciones posibles son a = 1 y a = -1. Si a = 1, entonces la otra solución sería 2a = 2(1) = 2. Si a = -1, entonces la otra solución sería 2a = 2(-1) = -2. Por lo tanto, las soluciones posibles son x = 1 y x = -2. Para encontrar el valor de "k", podemos sustituir una de estas soluciones en la ecuación original: Cuando x = 1: (1)^3 - 7(1) + k = 0 1 - 7 + k = 0 k = 6 Cuando x = -2: (-2)^3 - 7(-2) + k = 0 -8 + 14 + k = 0 k = -6 Entonces, los valores posibles para "k" son 6 y -6.