Exerćıcio 4: Use uma integral de linha para calcular a área da região plana limitada pelas curvas y = x2 e x = y2.

Para calcular a área da região plana limitada pelas curvas y = x^2 e x = y^2, podemos usar uma integral de linha. Vamos considerar a região no primeiro quadrante, onde x e y são positivos. Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas. Igualando as equações, temos: x^2 = y y^2 = x Podemos resolver esse sistema de equações substituindo y em termos de x na segunda equação: (x^2)^2 = x x^4 = x x^4 - x = 0 x(x^3 - 1) = 0 Portanto, temos duas soluções para x: x = 0 e x = 1. Agora, vamos calcular a integral de linha da função f(x, y) = 1 em relação ao caminho C formado pelas curvas y = x^2 e x = y^2. Podemos parametrizar o caminho C da seguinte forma: x(t) = t y(t) = t^2 Agora, vamos calcular a integral de linha: ∫∫C f(x, y) ds = ∫∫C 1 ds Usando a fórmula da integral de linha, temos: ∫∫C 1 ds = ∫∫C 1 √(dx^2 + dy^2) Substituindo as parametrizações de x e y, temos: ∫∫C 1 √(dx^2 + dy^2) = ∫∫C 1 √(1 + (2t)^2) dt Simplificando, temos: ∫∫C 1 √(1 + 4t^2) dt Agora, podemos calcular a integral: ∫∫C 1 √(1 + 4t^2) dt = ∫[0,1]∫[0,t^2] 1 √(1 + 4t^2) dy dx Resolvendo essa integral dupla, obtemos a área da região plana limitada pelas curvas y = x^2 e x = y^2.