Calcule ∫ arctg x dx.

Para calcular a integral de ∫ arctg(x) dx, podemos usar integração por partes. Vamos considerar u = arctg(x) e dv = dx. Primeiro, vamos encontrar du/dx e v: du/dx = 1 / (1 + x^2) (derivada de arctg(x)) v = x (integral de dx) Agora, podemos aplicar a fórmula de integração por partes: ∫ arctg(x) dx = uv - ∫ v du/dx dx = x * arctg(x) - ∫ x * (1 / (1 + x^2)) dx A integral ∫ x * (1 / (1 + x^2)) dx pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição x = tan(t): dx = sec^2(t) dt 1 + x^2 = 1 + tan^2(t) = sec^2(t) Substituindo na integral: ∫ x * (1 / (1 + x^2)) dx = ∫ tan(t) * (1 / sec^2(t)) * sec^2(t) dt = ∫ tan(t) dt A integral de tan(t) é -ln|cos(t)| + C, onde C é a constante de integração. Portanto, a solução da integral ∫ arctg(x) dx é: ∫ arctg(x) dx = x * arctg(x) - ln|cos(t)| + C Lembrando que x = tan(t), podemos substituir de volta: ∫ arctg(x) dx = x * arctg(x) - ln|cos(arctg(x))| + C Simplificando um pouco mais: ∫ arctg(x) dx = x * arctg(x) - ln|√(1 + x^2)| + C Espero que isso ajude!