Um tanque esférico é preenchido com água à uma vazão constante. Determine uma expressão da variação do raio com o tempo à medida que o tanque é pre...

Para determinar a expressão da variação do raio com o tempo à medida que o tanque esférico é preenchido com água, podemos utilizar a equação da continuidade. A equação da continuidade relaciona a vazão volumétrica (Q) com a área da seção transversal (A) e a velocidade do fluido (v): Q = A * v No caso do tanque esférico, a área da seção transversal é dada por: A = 4πr² Onde r é o raio do tanque. Como a vazão é constante, podemos escrever: Q = dV/dt Onde dV/dt é a taxa de variação do volume em relação ao tempo. Substituindo as expressões anteriores, temos: dV/dt = 4πr² * v Agora, podemos relacionar a velocidade do fluido com a taxa de variação do raio (dr/dt). Como o tanque é preenchido de forma simétrica, a velocidade do fluido é proporcional à taxa de variação do raio: v = k * (dr/dt) Onde k é uma constante de proporcionalidade. Substituindo essa relação na equação anterior, temos: dV/dt = 4πr² * k * (dr/dt) Agora, podemos isolar a taxa de variação do raio (dr/dt): dr/dt = (dV/dt) / (4πr² * k) Essa é a expressão da variação do raio com o tempo à medida que o tanque é preenchido com água.